Calcule iiint_{\mathrm{S}} f(x, y, z) d \mathrm{~V} sendo dados:
f(x, y, z)=x-y+z, onde S é tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0) e (0,0,4).

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{S}(x - y + z)\,dV
onde S é o tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,4).
O conteúdo aqui é integral tripla sobre um simplex e a propriedade de que, para uma função linear, a integral no volume vale o valor da função no centróide vezes o volume.

Passo 2

Primeiro achamos o volume V de S. Como S é o tetraedro definido pelos interceptos a=1, b=2, c=4 nos eixos, usa-se
V = \frac{a\,b\,c}{6} = \frac{1\cdot 2\cdot 4}{6} = \frac{4}{3}.

Passo 3

Para uma função linear f(x,y,z)=x - y + z e um tetraedro S, vale
\iiint_{S}f(x,y,z)\,dV = f(x_c,y_c,z_c)\;V
onde (x_c,y_c,z_c) é o centróide de S, que é a média das coordenadas dos quatro vértices.

Passo 4

Calculamos o centróide
(x_c,y_c,z_c) =\Bigl(\tfrac{0+1+0+0}{4},\,\tfrac{0+0+2+0}{4},\,\tfrac{0+0+0+4}{4}\Bigr) =(\tfrac14,\tfrac12,1).
Logo
f(x_c,y_c,z_c) =\tfrac14 - \tfrac12 + 1 = \tfrac{3}{4}.

Passo 5

Portanto
\iiint_{S}(x - y + z)\,dV = f(x_c,y_c,z_c)\;V = \tfrac{3}{4}\;\cdot\;\tfrac{4}{3} =1.

Resposta

1

Exercícios relacionados