Calcule iiint_{\mathrm{S}} f(x, y, z) d \mathrm{~V} sendo dados:
f(x, y, z)=2 x y e S é o sólido limitado superiormente pelo plano x+y+z=4, inferiormente pelo plano z=-1, e lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{S}f(x,y,z)\,dV
onde f(x,y,z)=2xy e S é o sólido definido por
  1. x^2+y^2\le1 (cilindro de raio 1),
  2. -1\le z\le 4 - x - y.
    Vamos usar o teorema de Fubini em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em z e depois sobre a região plana D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.

Passo 2

Escrevemos
\iiint_{S}2xy\,dV =\iint_{D}\Bigl[\int_{z=-1}^{\,4 - x - y}2xy\,dz\Bigr]dA =\iint_{D}2xy\bigl[(4 - x - y)-(-1)\bigr]\,dA.
Como (4 - x - y)-(-1)=5 - x - y, segue
\iiint_{S}2xy\,dV =\iint_{D}2xy\,(5 - x - y)\,dA.

Passo 3

Expandindo o integrando:
2xy\,(5 - x - y) =10xy - 2x^2y - 2xy^2.
Note que cada termo é uma função ímpar em x ou em y por si só:
  • \displaystyle 10xy muda de sinal trocando x\mapsto -x (ou y\mapsto -y),
  • \displaystyle x^2y muda de sinal trocando y\mapsto -y,
  • \displaystyle xy^2 muda de sinal trocando x\mapsto -x.
    A região D é o disco centrado na origem, simétrico em x e y. A integral de qualquer função ímpar sobre uma região simétrica é zero.

Passo 4

Portanto cada uma das integrais
\iint_{D}10xy\,dA,
\iint_{D}x^2y\,dA e
\iint_{D}xy^2\,dA
vale zero, e assim
\iiint_{S}2xy\,dV =0.

Resposta

0

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