Calcule
sendo dados:
, onde S é tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o tetraedro de vértices
,
,
e
.
O conteúdo aqui é integral tripla sobre um simplex e a propriedade de que, para uma função linear, a integral no volume vale o valor da função no centróide vezes o volume.
O conteúdo aqui é integral tripla sobre um simplex e a propriedade de que, para uma função linear, a integral no volume vale o valor da função no centróide vezes o volume.
Passo 2
Primeiro achamos o volume
de
. Como
é o tetraedro definido pelos interceptos
,
,
nos eixos, usa-se
Passo 3
Para uma função linear
e um tetraedro
, vale
onde
é o centróide de
, que é a média das coordenadas dos quatro vértices.
Passo 4
Calculamos o centróide
Logo
Passo 5
Portanto