Calcule \iint_{D}(x+y)^{2} e^{x-y} d A, onde D é a região delimitada por x+y=1, x+y=4, x-y=-1 e x-y=1. (Dica: use u=x+y e v=x-y )
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)^{2} e^{x-y}\,dA,
onde a região D é delimitada pelas retas x+y=1, x+y=4, x-y=-1 e x-y=1. O enunciado já dá uma dica: usar as mudanças de variável
u = x+y,\qquad v = x-y.
Informações relevantes dadas:
A função integranda é (x+y)^2 e^{x-y}.
As curvas que delimitam D são linhas de nível de u e v:
x+y=1 e x+y=4 correspondem a u=1 e u=4.
x-y=-1 e x-y=1 correspondem a v=-1 e v=1.
Não há outras restrições sobre x e y além dessas quatro retas.
Passo 2
Motivação da troca de variáveis e mapeamento da região: a substituição sugerida transforma a expressão complicada (x+y)^2 e^{x-y} em algo simples em termos de u e v. Vamos escrever a transformação e sua inversa:
u=x+y,\qquad v=x-y.
Resolvendo para x e y em função de u e v:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Agora vamos ver como a região D fica no plano uv: pelas retas dadas, obtemos os limites simples
1\le u\le 4,\qquad -1\le v\le 1.
Portanto D em xy corresponde a um retângulo R no plano uv.
Passo 3
Cálculo do Jacobiano (explicação didática): ao mudar de variáveis numa integral dupla, é necessário multiplicar pela razão de área entre um pequeno elemento em xy e o correspondente em uv. Essa razão é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y):
Comentário intuitivo: isso quer dizer que um pequeno retângulo em uv com área du\,dv corresponde a uma área \tfrac{1}{2}du\,dv no plano xy.]
Passo 4
Expressar a integranda e a integral em u,v: como (x+y)^2 = u^2 e e^{x-y}=e^{v}, a integranda vira u^2 e^{v}. Multiplicando pelo Jacobiano, obtemos a integral sobre o retângulo R=\{(u,v):1\le u\le4,\,-1\le v\le1\}:
Separação das integrais (porque o integrando é produto de função de u por função de v): podemos separar a integral dupla em produto de duas integrais simples:
Podemos deixar a resposta nessa forma, que é simples e exata. Se quiser, reescrever como \dfrac{21}{2}\left(e-\dfrac{1}{e}\right) ou como \dfrac{21}{2}\left(\dfrac{e^{2}-1}{e}\right).