Calcule \iint_{D}(x+y)^{2} e^{x-y} d A, onde D é a região delimitada por x+y=1, x+y=4, x-y=-1 e x-y=1. (Dica: use u=x+y e v=x-y )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)^{2} e^{x-y}\,dA,
onde a região D é delimitada pelas retas x+y=1, x+y=4, x-y=-1 e x-y=1. O enunciado já dá uma dica: usar as mudanças de variável
u = x+y,\qquad v = x-y.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é (x+y)^2 e^{x-y}.
  • As curvas que delimitam D são linhas de nível de u e v:
    • x+y=1 e x+y=4 correspondem a u=1 e u=4.
    • x-y=-1 e x-y=1 correspondem a v=-1 e v=1.
  • Não há outras restrições sobre x e y além dessas quatro retas.

Passo 2

Motivação da troca de variáveis e mapeamento da região: a substituição sugerida transforma a expressão complicada (x+y)^2 e^{x-y} em algo simples em termos de u e v. Vamos escrever a transformação e sua inversa:
u=x+y,\qquad v=x-y.
Resolvendo para x e y em função de u e v:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Agora vamos ver como a região D fica no plano uv: pelas retas dadas, obtemos os limites simples
1\le u\le 4,\qquad -1\le v\le 1.
Portanto D em xy corresponde a um retângulo R no plano uv.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano (explicação didática): ao mudar de variáveis numa integral dupla, é necessário multiplicar pela razão de área entre um pequeno elemento em xy e o correspondente em uv. Essa razão é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y):
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Calculando as derivadas usando x=\dfrac{u+v}{2} e y=\dfrac{u-v}{2}:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{1}{2}.
Então
J=\begin{vmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{vmatrix} =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
O elemento de área transforma-se por dA=|J|\,du\,dv. Tomando o valor absoluto:
dA=\left|-\frac{1}{2}\right|\,du\,dv=\frac{1}{2}\,du\,dv.
Comentário intuitivo: isso quer dizer que um pequeno retângulo em uv com área du\,dv corresponde a uma área \tfrac{1}{2}du\,dv no plano xy.]

Passo 4

Expressar a integranda e a integral em u,v: como (x+y)^2 = u^2 e e^{x-y}=e^{v}, a integranda vira u^2 e^{v}. Multiplicando pelo Jacobiano, obtemos a integral sobre o retângulo R=\{(u,v):1\le u\le4,\,-1\le v\le1\}:
\iint_{D} (x+y)^{2} e^{x-y}\,dA = \iint_{R} u^{2} e^{v}\left(\frac{1}{2}\right)\,du\,dv =\frac{1}{2}\int_{v=-1}^{1}\int_{u=1}^{4} u^{2} e^{v}\,du\,dv.

Passo 5

Separação das integrais (porque o integrando é produto de função de u por função de v): podemos separar a integral dupla em produto de duas integrais simples:
\frac{1}{2}\int_{v=-1}^{1} e^{v}\,dv \cdot \int_{u=1}^{4} u^{2}\,du.
Agora calculamos cada uma:
  • Para u:
\int_{u=1}^{4} u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{1}^{4}=\frac{4^{3}-1^{3}}{3}=\frac{64-1}{3}=\frac{63}{3}=21.
  • Para v:
\int_{v=-1}^{1} e^{v}\,dv=\left[e^{v}\right]_{-1}^{1}=e^{1}-e^{-1}=e-\frac{1}{e}.

Passo 6

Juntando os resultados:
\iint_{D} (x+y)^{2} e^{x-y}\,dA =\frac{1}{2}\cdot\left(e-\frac{1}{e}\right)\cdot 21 =\frac{21}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right).
Podemos deixar a resposta nessa forma, que é simples e exata. Se quiser, reescrever como \dfrac{21}{2}\left(e-\dfrac{1}{e}\right) ou como \dfrac{21}{2}\left(\dfrac{e^{2}-1}{e}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{21}{2}\!\left(e-\frac{1}{e}\right)

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