Exercício 4. Dada a função f(x)=\frac{2 x+2}{x^{2}-3 x-4}, determine: \lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x). Existe \lim _{x \rightarrow-1} f(x) ? Justifique. Os limites laterais existem e são iguais a -\frac{2}{5}. Logo, o limite em questão existe e vale -\frac{2}{5}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função f(x)=\dfrac{2x+2}{x^{2}-3x-4}.
  • Pede-se:
    1. \displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} f(x) (limite pela direita);
    2. \displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} f(x) (limite pela esquerda);
    3. Se \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) existe (ou seja, se os limites laterais são iguais) e justificativa.

Passo 2

Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão (isso é algebra básica: procurar fator comum e fatorar o polinômio do denominador).
  • Numerador:
2x+2 = 2(x+1).
  • Denominador: procurar raízes de x^{2}-3x-4. Notando que -1 e 4 multiplicam para -4 e somam para -3, obtemos a fatoração
x^{2}-3x-4 = (x+1)(x-4).
Portanto, para x tal que os fatores não se anulam simultaneamente,
f(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-4)}.
Como há o fator comum (x+1) no numerador e no denominador, para todo x\neq -1 temos a simplificação
f(x)=\frac{2}{x-4}\qquad (x\neq -1).
Observação importante de domínio: a expressão original tem denominador nulo em x=-1 e em x=4, logo a função original não está definida nesses pontos. A simplificação algebraica vale apenas para x\neq -1 (e x\neq 4).

Passo 3

Explicar a ideia de limite que vamos usar (didática): o limite \lim_{x\to a} f(x) depende do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, não do valor (ou da ausência de valor) de f exatamente em a. Se duas funções coincidem em toda uma vizinhança de a exceto possivelmente no próprio a (isto é, são iguais para 0<|x-a|<\delta), então elas têm o mesmo limite em a. Em particular, se após simplificar obtemos uma função contínua em a, podemos obter o limite por substituição.
No nosso caso, para x próximo de -1 (mas x\neq -1) temos f(x)=\dfrac{2}{x-4}. A função g(x)=\dfrac{2}{x-4} é contínua em x=-1 porque o denominador x-4 vale -5\neq 0 em x=-1. Então podemos avaliar o limite substituindo x=-1 na função simplificada.

Passo 4

Calcular os limites laterais usando a expressão simplificada.
  • Para a aproximação pela direita:
\lim_{x\to -1^{+}} f(x) = \lim_{x\to -1^{+}} \frac{2}{x-4} = \frac{2}{-1-4} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}.
  • Para a aproximação pela esquerda:
\lim_{x\to -1^{-}} f(x) = \lim_{x\to -1^{-}} \frac{2}{x-4} = \frac{2}{-1-4} = -\frac{2}{5}.
Ambos os limites laterais dão o mesmo valor porque a expressão \dfrac{2}{x-4} tende ao mesmo número independentemente do lado pelo qual x se aproxima de -1.

Passo 5

Conclusão e interpretação da descontinuidade (didática e motivadora):
  • Como \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -\dfrac{2}{5}, o limite bilateral existe e vale -\dfrac{2}{5}.
  • Observação conceitual: a função original não está definida em x=-1, mas tem limite ali — isso é chamado de descontinuidade removível. Se alguém definisse f(-1):=-\dfrac{2}{5}, a nova função estenderia f tornando-a contínua em -1.
  • Checagem numérica rápida para intuição: por exemplo, f(-0,9)=\frac{2}{-0,9-4}\approx -0,408\quad\text{e}\quad f(-1,1)=\frac{2}{-1,1-4}\approx -0,392,que se aproximam de -0,4=-\dfrac{2}{5} quando x se aproxima de -1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = -\dfrac{2}{5}
\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -\dfrac{2}{5}
Sim. \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) = -\dfrac{2}{5}

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