Exercício 4. Dada a função
, determine:
e
. Existe
? Justifique. Os limites laterais existem e são iguais a
. Logo, o limite em questão existe e vale
.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função
. - Pede-se:
-
(limite pela direita); -
(limite pela esquerda); - Se
existe (ou seja, se os limites laterais são iguais) e justificativa.
-
Passo 2
Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão (isso é algebra básica: procurar fator comum e fatorar o polinômio do denominador).
- Numerador:
- Denominador: procurar raízes de
. Notando que e multiplicam para e somam para , obtemos a fatoração
Portanto, para
tal que os fatores não se anulam simultaneamente,
Como há o fator comum
no numerador e no denominador, para todo
temos a simplificação
Observação importante de domínio: a expressão original tem denominador nulo em
e em
, logo a função original não está definida nesses pontos. A simplificação algebraica vale apenas para
(e
).
Passo 3
Explicar a ideia de limite que vamos usar (didática): o limite
depende do comportamento de
quando
se aproxima de
, não do valor (ou da ausência de valor) de
exatamente em
. Se duas funções coincidem em toda uma vizinhança de
exceto possivelmente no próprio
(isto é, são iguais para
), então elas têm o mesmo limite em
. Em particular, se após simplificar obtemos uma função contínua em
, podemos obter o limite por substituição.
No nosso caso, para
próximo de
(mas
) temos
. A função
é contínua em
porque o denominador
vale
em
. Então podemos avaliar o limite substituindo
na função simplificada.
Passo 4
Calcular os limites laterais usando a expressão simplificada.
- Para a aproximação pela direita:
- Para a aproximação pela esquerda:
Ambos os limites laterais dão o mesmo valor porque a expressão
tende ao mesmo número independentemente do lado pelo qual
se aproxima de
.
Passo 5
Conclusão e interpretação da descontinuidade (didática e motivadora):
- Como
, o limite bilateral existe e vale . - Observação conceitual: a função original não está definida em
, mas tem limite ali — isso é chamado de descontinuidade removível. Se alguém definisse , a nova função estenderia tornando-a contínua em . - Checagem numérica rápida para intuição: por exemplo,
que se aproximam de quando se aproxima de .
Resposta
Sim.