Calcule
\iint_{0}^{1}\left[t \vec{i}+e^{t} \vec{j}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial da função \mathbf F(t)=t\vec i+e^t\vec j no intervalo de t=0 a t=1. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz integrando cada componente separadamente.

Passo 2

Separamos a integral vetorial em duas integrais escalares:
\int_{0}^{1}t\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}e^t\,dt.

Passo 3

Calculamos cada uma:
\int_{0}^{1}t\,dt =\left.\frac{t^2}{2}\right|_{0}^{1} =\frac12,
\int_{0}^{1}e^t\,dt =\left.e^t\right|_{0}^{1} =e-1.

Passo 4

Como a integral vetorial é o vetor cujas componentes são os resultados acima, temos
\int_{0}^{1}\bigl(t\vec i+e^t\vec j\bigr)\,dt =\frac12\,\vec i+(e-1)\,\vec j.

Resposta

\displaystyle \frac12\,\vec i+(e-1)\,\vec j

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