Calcule \iint_{R} f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}}, R éo retângulo 0 \leqslant x \leqslant 1,1 \leqslant y \leqslant 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=y^{3}e^{xy^{2}} e R é o retângulo definido por 0\le x\le1 e 1\le y\le2.
O conteúdo aqui é integração dupla em retângulo, que nos permite usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada e integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini temos
\iint_{R}y^{3}e^{xy^{2}}\,dx\,dy =\int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{xy^{2}}\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Dentro da integral em x, y é constante, então
\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{xy^{2}}\,dx =y^{3}\int_{0}^{1}e^{xy^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=xy^{2}, du=y^{2}dx, obtemos
y^{3}\int_{0}^{1}e^{u}\,\frac{du}{y^{2}} =y\int_{u=0}^{u=y^{2}}e^{u}\,du =y\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{y^{2}} =y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).
Logo a integral em x é \;y(e^{y^{2}}-1).

Passo 4

Substituindo de volta, a integral dupla vira
\int_{y=1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy =\int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy \;-\;\int_{1}^{2}y\,dy.
Para \displaystyle\int y\,e^{y^{2}}\,dy fazemos v=y^{2}, dv=2y\,dy, logo
\int y\,e^{y^{2}}\,dy =\frac12\int e^{v}\,dv =\frac12e^{v} =\frac12e^{y^{2}}.
E
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Agora avaliamos de y=1 a y=2:
\int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy -\int_{1}^{2}y\,dy =\Bigl[\tfrac12e^{y^{2}}\Bigr]_{1}^{2} \;-\;\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2}.
Isso dá
\frac12\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr) \;-\;\frac12\bigl(4-1\bigr) =\frac12\bigl(e^{4}-e-3\bigr).

Resposta

\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy =\frac12\bigl(e^{4}-e-3\bigr).

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