Calcule \iint_{R} f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=x, R é a regiâo compreendida entre os gráficos de y=\cos x a y=1-\cos x, onde Q \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=x e R é a região entre as curvas y=\cos x e y=1-\cos x, para x variando de um ponto Q até \pi/2.
Para resolver, precisamos:
  1. Determinar Q pela interseção das curvas.
  2. Montar a integral dupla em ordem dy\,dx.
  3. Calcular a integral interna em y e depois a externa em x.

Passo 2

Encontramos Q resolvendo
\cos x = 1 - \cos x
que dá
2\cos x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{\pi}{3}.
Logo Q=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Em ordem dy\,dx, a integral fica
\iint_{R} x\,dA = \int_{x=\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl[ \int_{y=\cos x}^{\,1-\cos x} x\,dy \Bigr]dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=\cos x}^{\,1-\cos x} x\,dy = x\bigl[(1-\cos x)-(\cos x)\bigr] = x\bigl(1-2\cos x\bigr).

Passo 5

Agora resta a integral em x:
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} x\bigl(1-2\cos x\bigr)\,dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx \;-\;2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx.

Passo 6

As primitivas são
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}, \qquad \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x.
Portanto, uma antiderivada da função é
F(x) = \frac{x^2}{2} -2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr).

Passo 7

Avaliamo-la de x=\tfrac{\pi}{3} até x=\tfrac{\pi}{2}:
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\pi^2}{8} -2\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\cdot1 + 0\Bigr) = \frac{\pi^2}{8}-\pi,
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \frac{\pi^2}{18} -2\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \tfrac12\Bigr) = \frac{\pi^2}{18} -\frac{\pi\sqrt3}{3} -1.

Passo 8

Subtraindo,
\iint_{R}x\,dA = F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \Bigl(\frac{\pi^2}{8}-\pi\Bigr) - \Bigl(\frac{\pi^2}{18}-\frac{\pi\sqrt3}{3}-1\Bigr).
Simplificando:
\iint_{R}x\,dA = \frac{5\pi^2}{72} -\pi +\frac{\pi\sqrt3}{3} +1.

Resposta

\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \frac{5\pi^2}{72} -\pi +\frac{\pi\sqrt3}{3} +1.

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