Calcule a impedância ZAB de um circuito RLC série, onde \mathrm{R}=1 \Omega, \mathrm{L}=1 \mathrm{H} e \mathrm{C}=1 \mathrm{~F}, à freqüência
1 Hz

Passo 1

O enunciado pede para calcular a impedância entre os terminais A e B de um circuito série RLC com os seguintes dados:
R=1\\ \Omega,\qquad L=1\\ \mathrm{H},\qquad C=1\\ \mathrm{F},
na frequência
f=1\\ \mathrm{Hz}.
Dados importantes resumidos: valor da resistência R, indutância L, capacitância C e a frequência f. A pergunta é: qual é a impedância complexa Z_{AB} desse circuito na frequência dada?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula): em regime senoidal estacionário usamos a representação fasorial e definimos a impedância complexa de um circuito série RLC como a soma das impedâncias dos elementos:
Z = Z_R + Z_L + Z_C.
Cada impedância é:
Z_R = R,\qquad Z_L = j\omega L,\qquad Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -j\,\dfrac{1}{\omega C},
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) usada em engenharia elétrica, e \omega é a frequência angular dada por
\omega = 2\pi f.
Explicação das variáveis:
  • R é a resistência (parte real da impedância).
  • L é a indutância; j\omega L é a reatância indutiva (parte imaginária positiva).
  • C é a capacitância; -j/( \omega C) é a reatância capacitiva (parte imaginária negativa).
    A reatância total (parte imaginária) do circuito série é X = \omega L - \dfrac{1}{\omega C}. Então
Z = R + jX.

Passo 3

Calculemos primeiro a frequência angular \omega. Usando a fórmula \omega = 2\pi f e substituindo f=1\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 1 = 2\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Agora calculemos as reatâncias individuais:
reatância indutiva:
X_L = \omega L = (2\pi)\cdot 1 = 2\pi.
reatância capacitiva (valor absoluto; lembrando que no Z_C ela aparece com sinal negativo):
X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi\cdot 1} = \dfrac{1}{2\pi}.
São expressões exatas em termos de \pi.

Passo 5

A reatância líquida (parte imaginária) do circuito série é
X = X_L - X_C = 2\pi - \dfrac{1}{2\pi}.
Se quisermos escrever numa forma racionalizada:
X = \dfrac{4\pi^{2}-1}{2\pi}.

Passo 6

Agora a impedância complexa Z_{AB} em forma retangular (parte real + j·parte imaginária) é
Z_{AB} = R + jX = 1 + j\left(2\pi - \dfrac{1}{2\pi}\right)\\ \Omega.
Esta é a resposta exata em termos de \pi.

Passo 7

Vamos também dar uma aproximação numérica para facilitar a interpretação. Calculando numericamente:
2\pi \approx 6,283185\quad\text{e}\quad \dfrac{1}{2\pi}\approx 0,159155,
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X \approx 6,283185-0,159155 \approx 6,124030.
Portanto
Z_{AB}\approx 1 + j\,6,124030\\ \Omega.

Passo 8

(Complemento útil para a prova) Forma polar (módulo e fase): o módulo é
|Z|=\sqrt{R^{2}+X^{2}}=\sqrt{1^{2}+(6,124030)^{2}}\approx 6,205,
e a fase é
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{X}{R}\right)=\arctan(6,124030)\approx 80,78^{\circ}.
Esses valores ajudam a interpretar que o circuito é indutivo (fase positiva) na frequência 1\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

Z_{AB}=1 + j\left(2\pi - \dfrac{1}{2\pi}\right)\\ \Omega
Z_{AB}\approx 1 + j\,6,124030\\ \Omega \;(\text{ou }|Z|\approx 6,205\\ \Omega,\\ \varphi\approx 80,78^\circ)

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