Exercício 01: Um transformador monofásico de distribuição com 75 \mathrm{kVA}, 240 \mathrm{~V}: 7970 \mathrm{~V} e 60 Hz tem os seguintes parâmetros referidos ao lado de alta tensão:
\mathrm{R} 1=5,93 \Omega \quad \mathrm{X} 1=43,2 \Omega ; \mathrm{R} 2=3,39 \Omega \quad \mathrm{X} 2=40,6 \Omega ; \mathrm{Rc}=244 \mathrm{k} \Omega \quad \mathrm{Xm}=114 \mathrm{k} \Omega
Calcule a eficiência e a regulação de tensão desse transformador quando ele alimenta uma carga com a potência de 75 kVA e fator de potência 0,94 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: eficiência e regulação de tensão do transformador nas condições dadas. Informação fornecida (tudo referido ao lado de alta tensão, ou seja, aos 7970\\ \mathrm{V}):
\text{Potência nominal: }75\\ \mathrm{kVA}ê
\text{Tensões: }240\\ \mathrm{V}:\;7970\\ \mathrm{V}õ
\text{Frequência: }60\\ \mathrm{Hz}ê
Parâmetros referidos ao lado de alta tensão:
R_1=5{,}93\\ \Omega,\quad X_1=43{,}2\\ \Omega
R_2=3{,}39\\ \Omega,\quad X_2=40{,}6\\ \Omega
R_c=244\\ \mathrm{k}\Omega,\quad X_m=114\\ \mathrm{k}\Omega
Condições de operação:
\text{Carga: }75\\ \mathrm{kVA}\quad\text{fator de potência } \mathrm{pf}=0{,}94\\ (\text{assumo defasagem atrasada, i.e. lagging})ê
Portanto, pedem:
  • Eficiência quando entrega 75\\ \mathrm{kVA} com \mathrm{pf}=0{,}94.
  • Regulação de tensão (percentual) nessa mesma condição de carga.

Passo 2

Montagem do circuito equivalente simplificado e corrente de plena carga (relembrando conceitos importantes):
  • Como todos os parâmetros já estão referidos ao lado de alta tensão, a impedância série equivalente vista pela fonte (lado de alta) é a soma das resistências e reatâncias série:
R_{\text{eq}}=R_1+R_2,\qquad X_{\text{eq}}=X_1+X_2.
Isto significa que a queda de tensão série para o carregamento será dada por I\,(R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}). Essa soma é válida pois as resistências e reatâncias foram transformadas para o mesmo lado.
  • A corrente de plena carga no lado de alta (corrente referida) é obtida a partir da potência aparente e da tensão nominal:
I_{\text{FL}}=\frac{S}{V_{\text{alta}}}
onde S é a potência aparente em VA e V_{\text{alta}} é a tensão do lado de alta. Aqui:
S=75{,}000\\ \mathrm{VA},\qquad V_{\text{alta}}=7970\\ \mathrm{V}.
Cálculos:
R_{\text{eq}}=5{,}93+3{,}39=9{,}32\\ \Omega,
X_{\text{eq}}=43{,}2+40{,}6=83{,}8\\ \Omega,
I_{\text{FL}}=\frac{75\,000}{7\,970}\approx 9{,}407\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Cálculo das perdas (explicando a origem das perdas e fórmulas):
  • Perdas por efeito Joule (perdas de cobre) no conjunto série referido ao lado alto: a fórmula é
P_{\text{cu}}=I_{\text{FL}}^{2}\,R_{\text{eq}}.
Aqui usamos I_{\text{FL}} porque os resistores já estão no mesmo lado.
  • Perdas no núcleo (perdas constantes de ferro) são modeladas pela resistência R_c em paralelo com X_m. Em regime de tensão nominal, a potência de perdas no núcleo é aproximada por
P_{\text{fe}}=\frac{V_{\text{alta}}^{2}}{R_c}.
Isso assume que a tensão aplicada está praticamente em V_{\text{alta}} (bom aproximação quando a regulação não é enorme).
Cálculos numéricos (mostrando contas passo a passo):
I_{\text{FL}}^{2}\approx(9{,}407)^{2}\approx 88{,}54\\ \mathrm{A}^2.
P_{\text{cu}}=88{,}54\cdot 9{,}32\approx 825{,}5\\ \mathrm{W}.
P_{\text{fe}}=\frac{7970^{2}}{244\,000}=\frac{63\,520\,900}{244\,000}\approx 260{,}49\\ \mathrm{W}.
P_{\text{perdas, total}}=P_{\text{cu}}+P_{\text{fe}}\approx 825{,}5+260{,}49\approx 1\,085{,}99\\ \mathrm{W}.
Observação didática: X_m determina corrente de magnetização (muito pequena em relação à corrente de carga aqui), por isso a componente reativa do ramo shunt não contribui significativamente para perdas ativas; a perda ativa do núcleo é modelada por R_c.

Passo 4

Cálculo da potência de saída e eficiência (explicando a definição de eficiência):
  • A potência ativa entregue à carga é:
P_{\text{out}}=S\cdot\mathrm{pf}=75\,000\cdot 0{,}94=70\,500\\ \mathrm{W}.
  • A potência de entrada é a soma da potência entregue à carga mais as perdas internas:
P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{perdas, total}}=70\,500+1\,085{,}99\approx 71\,585{,}99\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência é razão entre saída ativa e entrada:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}=\frac{70\,500}{71\,585{,}99}\approx 0{,}985\quad\text{ou}\quad 98{,}50\%.
Comentário motivador: deu quase 98,5% — transformadores de distribuição em plena carga têm eficiência muito alta; isso é normal.

Passo 5

Cálculo da regulação de tensão (explicando o que é e a fórmula usada):
  • Definição: regulação percentual é a variação percentual da tensão no secundário (ou no terminal considerado) quando a carga varia de vazio (no-load) para plena carga, com a tensão aplicada no primário mantida constante. Em outras palavras:
\text{Regulação (\%)}=\frac{V_{\text{no-load}}-V_{\text{full-load}}}{V_{\text{full-load}}}\times 100\%.çã
  • Para calcular essa regulação com os parâmetros série referidos ao lado considerado (aqui usamos o lado de alta), usamos a fórmula aproximada proveniente da diferença de módulo da tensão:
\text{Regulação (\%)}\approx\frac{I_{\text{FL}}\bigl(R_{\text{eq}}\cos\varphi + X_{\text{eq}}\sin\varphi\bigr)}{V_{\text{alta}}}\times 100\%,çã
onde \varphi é o ângulo de fase da carga (para carga atrasada, \cos\varphi=\mathrm{pf} e \sin\varphi=\sqrt{1-\mathrm{pf}^2}). Essa expressão vem de projetar a queda complexa I(R+jX) na direção da tensão nominal para obter a variação de magnitude.
Cálculos:
\cos\varphi=\mathrm{pf}=0{,}94,\qquad \sin\varphi=\sqrt{1-0{,}94^{2}}=\sqrt{1-0{,}8836}=\sqrt{0{,}1164}\approx 0{,}3414.
R_{\text{eq}}\cos\varphi + X_{\text{eq}}\sin\varphi=9{,}32\cdot 0{,}94 + 83{,}8\cdot 0{,}3414
=8{,}7648 + 28{,}6093 \approx 37{,}3741.
\text{Queda efetiva} = I_{\text{FL}}\times 37{,}3741 \approx 9{,}407\times 37{,}3741 \approx 351{,}6\\ \mathrm{V}.
\text{Regulação (\%)}\approx \frac{351{,}6}{7\,970}\times 100\%\approx 4{,}41\%.çã
Interpretação: com carga de 75\\ \mathrm{kVA} e \mathrm{pf}=0{,}94 atrasado, a tensão no lado considerado cai cerca de 4{,}41\% do valor nominal quando comparada ao no-load.

Resposta

Eficiência =98{,}50\%
Regulação de tensão =4{,}41\%

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