Exercício 02: Um transformador monofásico de 50 MVA e 60 Hz com relação de transformação de 8 \mathrm{kV}: 78 \mathrm{kV} é conectado como autotransformador para elevar a tensão de 8 kV para 86 kV . Calcule a potência nominal e as correntes de entrada e saída na configuração como autotransformador.

Passo 1

O enunciado dá um transformador monofásico com potência nominal 50\\ \mathrm{MVA}, frequência 60\\ \mathrm{Hz} e relação de tensões 8\\ \mathrm{kV} : 78\\ \mathrm{kV}. Ele é conectado como autotransformador para elevar a tensão de 8\\ \mathrm{kV} até 86\\ \mathrm{kV}.
Pedido: calcular a potência nominal do autotransformador nessa conexão e as correntes de entrada e de saída na configuração como autotransformador.
Informações relevantes dadas: S_{\text{trafo}}=50\\ \mathrm{MVA}, V_1=8\\ \mathrm{kV} (lado de 8\\ \mathrm{kV}), V_2=78\\ \mathrm{kV} (lado de 78\\ \mathrm{kV}), tensão de saída autotransformador V_{\text{out}}=86\\ \mathrm{kV} (isto é 8+78).

Passo 2

Entender o que muda quando usamos como autotransformador (aula rapidinha, sem drama).
  • No autotransformador a tensão de saída é a soma em série das tensões das porções apropriadas do enrolamento: aqui V_{\text{out}}=V_1+V_2=8+78=86\\ \mathrm{kV}.
  • Parte da potência é fornecida magneticamente através do transformador original (essa potência magnética é limitada à potência nominal do transformador de dois enrolamentos, S_{\text{trafo}}) e parte é fornecida diretamente através da ligação série (por condução elétrica). Por isso o autotransformador consegue uma potência aparente maior que S_{\text{trafo}}.

Passo 3

Derivar a fórmula da potência nominal do autotransformador. Seja I a corrente de carga (corrente na parte série / corrente de saída). A potência aparente entregue nos terminais do autotransformador é
S_{\text{auto}} = V_{\text{out}}\cdot I = (V_1+V_2)\cdot I.
A potência aparente que é transferida magneticamente pelo transformador original é
S_{\text{trafo}} = V_2\cdot I.
Dividindo as duas expressões (eliminando I) obtemos
\frac{S_{\text{auto}}}{S_{\text{trafo}}}=\frac{V_1+V_2}{V_2}
portanto
S_{\text{auto}}=S_{\text{trafo}}\cdot\frac{V_1+V_2}{V_2}.
Essa é a fórmula padrão: o fator de aumento é \dfrac{V_1+V_2}{V_2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números do enunciado. Substituindo S_{\text{trafo}}=50\\ \mathrm{MVA}, V_1=8\\ \mathrm{kV}, V_2=78\\ \mathrm{kV}:
S_{\text{auto}}=50\\ \mathrm{MVA}\cdot\frac{8+78}{78}=50\\ \mathrm{MVA}\cdot\frac{86}{78}.
Calculemos:
\frac{86}{78}=1,1025641\ldots
S_{\text{auto}}=50\cdot1{,}1025641\ldots = 55{,}128205\\ \mathrm{MVA}\approx 55{,}13\\ \mathrm{MVA}.

Passo 5

Agora as correntes. Primeiro a corrente de saída (corrente no terminal de 86\\ \mathrm{kV}), que chamarei de I_{\text{out}}. Como S_{\text{auto}}=V_{\text{out}}\cdot I_{\text{out}},
I_{\text{out}}=\frac{S_{\text{auto}}}{V_{\text{out}}}=\frac{55{,}128205\times10^{6}}{86\times10^{3}}\\ \mathrm{A}.
Fazendo a conta:
I_{\text{out}}=\frac{55{,}128205\times10^{6}}{86\times10^{3}}=641{,}0256\\ \mathrm{A}\approx 641{,}03\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Corrente nos enrolamentos do transformador original (útil para entender a distribuição interna). A potência magneticamente transferida continua sendo S_{\text{trafo}}=50\\ \mathrm{MVA}. Assim a corrente no enrolamento de 78\\ \mathrm{kV} (corrente secundária do transformador original) é
I_2=\frac{S_{\text{trafo}}}{V_2}=\frac{50\times10^{6}}{78\times10^{3}}=641{,}0256\\ \mathrm{A}\approx 641{,}03\\ \mathrm{A}.
Note que I_2=I_{\text{out}} (isso faz sentido: a corrente na porção série de 78\\ \mathrm{kV} é a corrente de carga). A corrente no enrolamento de 8\\ \mathrm{kV} do transformador original (corrente primária, referida ao enrolamento de 8\\ \mathrm{kV}) é
I_1=\frac{S_{\text{trafo}}}{V_1}=\frac{50\times10^{6}}{8\times10^{3}}=6250\\ \mathrm{A}.
Essa I_1 é a corrente que circula internamente no enrolamento de 8\\ \mathrm{kV} do transformador (não é a corrente externa fornecida pela fonte de 8\\ \mathrm{kV}).

Passo 7

Corrente de entrada no terminal de 8\\ \mathrm{kV} (corrente fornecida pela rede de 8\\ \mathrm{kV}): essa corrente fornece apenas a parcela de potência que é entregue diretamente pela ligação série (a outra parcela é transferida magneticamente pelo transformador). A parcela fornecida diretamente é
S_{\text{direta}}=S_{\text{auto}}-S_{\text{trafo}}.
Assim
I_{\text{in}}=\frac{S_{\text{direta}}}{V_1}=\frac{S_{\text{auto}}-S_{\text{trafo}}}{V_1}.
Numérico:
S_{\text{direta}}=55{,}128205-50=5{,}128205\\ \mathrm{MVA},
I_{\text{in}}=\frac{5{,}128205\times10^{6}}{8\times10^{3}}=641{,}0256\\ \mathrm{A}\approx 641{,}03\\ \mathrm{A}.
Surpresa agradável: I_{\text{in}}=I_{\text{out}}=I_2. Em palavras: a corrente externa que entra pelo terminal de 8\\ \mathrm{kV} é igual à corrente de carga 641{,}03\\ \mathrm{A}; a diferença entre as correntes internas do transformador explica a grande corrente I_1=6250\\ \mathrm{A} que circula apenas nos enrolamentos (transferência magnética), não aparecendo diretamente como corrente da fonte externa.

Resposta

Potência nominal do autotransformador: 55{,}128205\\ \mathrm{MVA}\\ (\approx 55{,}13\\ \mathrm{MVA})
Corrente de saída (terminal 86\\ \mathrm{kV}): 641{,}03\\ \mathrm{A}
Corrente de entrada (terminal 8\\ \mathrm{kV}, fornecida pela rede): 641{,}03\\ \mathrm{A}
Correntes nos enrolamentos do transformador original: I_2 (78 kV) =641{,}03\\ \mathrm{A}, I_1 (8 kV) =6250\\ \mathrm{A}

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