Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- O limite superior contém a expressão
, que depende de . Para evitar confusão entre a variável de integração e a variável que aparece no limite, vou tratar a integral como uma integral definida cujo integrando usa uma variável distinta. Ou seja, interpreto o problema como calcular, para cada valor de , a função
onde
é a variável de integração (isso é uma notação padrão: limites podem depender de uma outra variável).
- A tarefa é portanto encontrar
, ou seja, calcular essa integral definida em função de .
Passo 2
Escolha do método: observar o integrando
. A presença de
no numerador e de
no denominador sugere usar a substituição que reduza a potência no denominador: a substituição natural é
porque
, ou seja
. Vou explicar a ideia da substituição:
- Quando em um integrando aparece um produto
e uma função de (aqui ), é conveniente definir . Assim reduzimos a integral para uma forma em que é mais fácil de integrar. - Para integrais definidas, ao fazer
é preciso também transformar os limites da integração: calcular nas extremidades e .
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Quando
, tem-se . - Quando
, tem-se . - Além disso
.
Portanto a integral vira
Expliquei: troquei
por
e
por
.
Passo 4
Agora calcular a integral em
:
- Lembre que a primitiva básica é
(onde é a função arco-tangente). - Aqui temos
. Faço a substituição auxiliar , então e . Assim
- Como temos o fator
à frente, obtemos para a integral definida
- E
, logo
Passo 5
Verificação rápida (motivacional): derivando
por
daria a expressão correta via Teorema Fundamental do Cálculo se desejássemos checar que a construção faz sentido como função com limite superior dependente de
. Aqui o procedimento foi a convencional mudança de variável e uso da primitiva conhecida de
.