Calcule:
\int_{0}^{1+9 x^{2}} \frac{x}{1+9 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1+9 x^{2}} \frac{x}{1+9 x^{4}}\, d x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O limite superior contém a expressão 1+9x^{2}, que depende de x. Para evitar confusão entre a variável de integração e a variável que aparece no limite, vou tratar a integral como uma integral definida cujo integrando usa uma variável distinta. Ou seja, interpreto o problema como calcular, para cada valor de x, a função
F(x)=\int_{0}^{1+9 x^{2}} \frac{t}{1+9 t^{4}}\, d t,
onde t é a variável de integração (isso é uma notação padrão: limites podem depender de uma outra variável).
  • A tarefa é portanto encontrar F(x), ou seja, calcular essa integral definida em função de x.

Passo 2

Escolha do método: observar o integrando \dfrac{t}{1+9t^{4}}. A presença de t no numerador e de t^{4} no denominador sugere usar a substituição que reduza a potência no denominador: a substituição natural é
u = t^{2},
porque du = 2t\,dt, ou seja t\,dt = \dfrac{1}{2}\,du. Vou explicar a ideia da substituição:
  • Quando em um integrando aparece um produto t\,dt e uma função de t^{2} (aqui 1+9t^{4} = 1+9(t^{2})^{2}), é conveniente definir u=t^{2}. Assim reduzimos a integral para uma forma em u que é mais fácil de integrar.
  • Para integrais definidas, ao fazer u=u(t) é preciso também transformar os limites da integração: calcular u nas extremidades t=0 e t=1+9x^{2}.

Passo 3

Aplicando a substituição u=t^{2}:
  • Quando t=0, tem-se u=0^{2}=0.
  • Quando t=1+9x^{2}, tem-se u=(1+9x^{2})^{2}.
  • Além disso t\,dt = \dfrac{1}{2}\,du.
    Portanto a integral vira
F(x)=\int_{0}^{1+9 x^{2}} \frac{t}{1+9 t^{4}}\, dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{(1+9x^{2})^{2}} \frac{1}{1+9u^{2}}\, du.
Expliquei: troquei t\,dt por \dfrac{1}{2}\,du e 1+9t^{4} por 1+9u^{2}.

Passo 4

Agora calcular a integral em u:
  • Lembre que a primitiva básica é \displaystyle \int \frac{du}{1+v^{2}} = \arctan(v) (onde \arctan é a função arco-tangente).
  • Aqui temos \dfrac{1}{1+9u^{2}} = \dfrac{1}{1+(3u)^{2}}. Faço a substituição auxiliar w=3u, então dw=3\,du e du=\dfrac{1}{3}\,dw. Assim
\int \frac{du}{1+9u^{2}} = \int \frac{du}{1+(3u)^{2}} = \frac{1}{3}\int \frac{dw}{1+w^{2}} = \frac{1}{3}\arctan(w)+C = \frac{1}{3}\arctan(3u)+C.
  • Como temos o fator \dfrac{1}{2} à frente, obtemos para a integral definida
F(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\left[\arctan(3u)\right]_{u=0}^{u=(1+9x^{2})^{2}} = \frac{1}{6}\left(\arctan\big(3(1+9x^{2})^{2}\big)-\arctan(0)\right).
  • E \arctan(0)=0, logo
F(x)=\frac{1}{6}\arctan\big(3(1+9x^{2})^{2}\big).

Passo 5

Verificação rápida (motivacional): derivando F(x) por x daria a expressão correta via Teorema Fundamental do Cálculo se desejássemos checar que a construção faz sentido como função com limite superior dependente de x. Aqui o procedimento foi a convencional mudança de variável e uso da primitiva conhecida de \dfrac{1}{1+z^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\arctan\!\big(3(1+9x^{2})^{2}\big)

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