Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e objetivo:
- O integrando é a função
no intervalo . - A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa integral definida, sem pedir aproximação necessariamente.
- Não há outras condições especiais; a função é contínua em
, logo a integral está bem definida.
Passo 2
Observação estratégica (por que fazer isso): o denominador tem
, enquanto o numerador é
. Uma boa ideia é tentar reduzir a potência
para algo mais manejável usando a substituição
, pois então
e o diferencial
aparece ligado a
. Vou explicar a técnica da substituição de forma clara:
- Substituição (mudança de variável) serve para transformar a integral numa outra mais simples. Escolhe-se uma função
tal que a nova integral em fique fácil de integrar. - Aqui, se escolhermos
, então a derivada é , ou seja . Daí . Isso combina muito bem com o numerador que temos.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Primeiro, expressar
em : . - Substituir o diferencial:
. - Mudar os limites de integração: quando
tem ; quando tem .
Fazendo a troca na integral:
Passo 4
Agora precisamos integrar
em
. Vou lembrar e justificar a fórmula padrão:
- Fórmula conhecida: para qualquer constante
,
- Por que isso vale? Porque a derivada da função
é, pela regra da cadeia,
Logo, para obter
basta multiplicar por
:
.
- No nosso caso, comparar
com leva a .
Passo 5
Aplicando a fórmula com
e lembrando do fator
que ficou fora:
Sabendo que
, obtemos a expressão final (aqui ainda como forma simbólica):