Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9 x^{4}}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • O integrando é a função x \mapsto \dfrac{x}{1+9x^{4}} no intervalo [0,1].
  • A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa integral definida, sem pedir aproximação necessariamente.
  • Não há outras condições especiais; a função é contínua em [0,1], logo a integral está bem definida.

Passo 2

Observação estratégica (por que fazer isso): o denominador tem x^{4}, enquanto o numerador é x. Uma boa ideia é tentar reduzir a potência x^{4} para algo mais manejável usando a substituição u=x^{2}, pois então x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2} e o diferencial du aparece ligado a x\,dx. Vou explicar a técnica da substituição de forma clara:
  • Substituição (mudança de variável) serve para transformar a integral numa outra mais simples. Escolhe-se uma função u=u(x) tal que a nova integral em u fique fácil de integrar.
  • Aqui, se escolhermos u=x^{2}, então a derivada é du/dx=2x, ou seja du=2x\,dx. Daí x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du. Isso combina muito bem com o numerador x\,dx que temos.

Passo 3

Aplicando a substituição u=x^{2}:
  • Primeiro, expressar x^{4} em u: x^{4}=u^{2}.
  • Substituir o diferencial: x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  • Mudar os limites de integração: quando x=0 tem u=0^{2}=0; quando x=1 tem u=1^{2}=1.
Fazendo a troca na integral:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9 x^{4}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \frac{1}{1+9u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{1}{1+9u^{2}}\,du.

Passo 4

Agora precisamos integrar \dfrac{1}{1+9u^{2}} em u. Vou lembrar e justificar a fórmula padrão:
  • Fórmula conhecida: para qualquer constante a>0,
\int \frac{1}{1+a^{2}t^{2}}\,dt = \frac{1}{a}\arctan(a t) + C.
  • Por que isso vale? Porque a derivada da função \arctan(a t) é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\big(\arctan(a t)\big) = \frac{a}{1+(a t)^{2}} = \frac{a}{1+a^{2}t^{2}}.
Logo, para obter \dfrac{1}{1+a^{2}t^{2}} basta multiplicar por 1/a: \dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{a}{1+a^{2}t^{2}}=\dfrac{1}{1+a^{2}t^{2}}.
  • No nosso caso, comparar \dfrac{1}{1+9u^{2}} com \dfrac{1}{1+a^{2}u^{2}} leva a a=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula com a=3 e lembrando do fator \dfrac{1}{2} que ficou fora:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{1}{1+9u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\Big[\arctan(3u)\Big]_{0}^{1} = \frac{1}{6}\big(\arctan(3\cdot 1)-\arctan(3\cdot 0)\big).
Sabendo que \arctan(0)=0, obtemos a expressão final (aqui ainda como forma simbólica):
\frac{1}{6}\arctan(3).

Resposta

\dfrac{1}{6}\arctan(3)

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