Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y, z)=\left(y z+x^{3}, 2 x z+3 y^{2}, x y+4\right) e C é a curva obtida como intersecção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} F\cdot d r,
onde o campo vetorial é
F(x,y,z)=\bigl(yz+x^{3},\;2xz+3y^{2},\;xy+4\bigr)
e a curva C é a intersecção do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; com o plano \;x+y+z=1\;, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Informações importantes dadas:
  • A curva C é um círculo fechado (intersecção do cilindro unitário com o plano), portanto a integral é uma integral de linha fechada.
  • A orientação “anti-horário vista de cima” significa sentido anti-horário quando olhamos no sentido do eixo z positivo.
  • O plano dá a relação entre coordenadas: em pontos de C vale \;z=1-x-y\;.

Passo 2

Escolha do método: vamos aplicar o Teorema de Stokes, que transforma uma integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional do campo sobre uma superfície S com \partial S=C. Isso costuma simplificar quando a superfície escolhida é plana e fácil de parametrizar — exatamente o nosso caso (o disco plano limitado por C).
Lembrete do Teorema de Stokes (explicado de forma simples): se S é uma superfície orientada com borda \partial S=C e a orientação de C for compatível com a normal de S, então
\int_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot n\,dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e n\,dS é o elemento de área vetorial da superfície.
Sobre a orientação: a curva é anti-horária vista de cima (do lado positivo de z), então devemos escolher a normal de S com componente z positiva (normal apontando aproximadamente para cima), para manter a regra da mão direita — assim o sinal da integral fica correto.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times F. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times F=\Bigl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\Bigr).
Aqui F_{1}=yz+x^{3}, F_{2}=2xz+3y^{2}, F_{3}=xy+4. Calculando as derivadas:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial (xy+4)}{\partial y}=x, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial (2xz+3y^{2})}{\partial z}=2x,
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial (yz+x^{3})}{\partial z}=y, \qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial (xy+4)}{\partial x}=y,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial (2xz+3y^{2})}{\partial x}=2z, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial (yz+x^{3})}{\partial y}=z.
Agora montar o rotacional:
\nabla\times F=\bigl(x-2x,\;y-y,\;2z-z\bigr)=\bigl(-x,\;0,\;z\bigr).

Passo 4

Escolher e parametrizar a superfície S cujo bordo é C. Uma escolha natural é o disco planar dado pela interseção do plano \;x+y+z=1\; com o cilindro \;x^{2}+y^{2}\le 1\;. Parametrizamos S pela projeção sobre o plano xy:
r(x,y)=\bigl(x,\;y,\;1-x-y\bigr), \qquad (x,y)\text{ variando no disco }D:\;x^{2}+y^{2}\le 1.
Calcular os vetores tangentes:
r_x=(1,0,-1),\qquad r_y=(0,1,-1).
O elemento de área vetorial (não-unitário) é r_x\times r_y. Calculando o produto vetorial:
r_x\times r_y= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} =(1,1,1).
Observações importantes:
  • O vetor r_x\times r_y=(1,1,1) tem componente z positiva, então sua orientação é compatível com a orientação pedida (anti-horário visto de cima). Ótimo.
  • O elemento de área vetorial é constante e igual a (1,1,1)\,dA, onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 5

Aplicar Stokes: a integral de linha será a integral dupla sobre o disco D do produto escalar entre o rotacional e r_x\times r_y:
\int_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot (r_x\times r_y)\,dA.
Substituindo \nabla\times F=(-x,0,z) e r_x\times r_y=(1,1,1):
(\nabla\times F)\cdot (r_x\times r_y)=(-x,0,z)\cdot(1,1,1)=-x+0+z=-x+z.
Como estamos sobre o plano, usamos \;z=1-x-y\;. Assim o integrando fica
-x+z=-x+(1-x-y)=1-2x-y.
Portanto
\int_{C} F\cdot d r=\iint_{D} \bigl(1-2x-y\bigr)\,dA,
onde D é o disco unitário \;x^{2}+y^{2}\le 1\; no plano xy.

Passo 6

Calcular a integral sobre o disco D. Separe os termos:
\iint_{D} \bigl(1-2x-y\bigr)\,dA=\iint_{D} 1\,dA -2\iint_{D} x\,dA - \iint_{D} y\,dA.
Usar simetrias do disco:
  • \iint_{D} 1\,dA é a área do disco de raio 1, logo vale \pi.
  • Pelo simetria do disco em torno da origem, \iint_{D} x\,dA=0 (o integrando x é ímpar em relação ao eixo y) e \iint_{D} y\,dA=0 (simetria em relação ao eixo x).
    Portanto
\iint_{D} \bigl(1-2x-y\bigr)\,dA=\pi-2\cdot 0 - 0=\pi.

Passo 7

Conclusão final: a integral de linha é \pi. Isso significa que, mesmo que o campo tenha componentes cúbicas e constantes, o uso do Teorema de Stokes e das simetrias do domínio simplifica bastante o cálculo — resultado bonito e compacto!

Resposta

\pi

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