Considerando o esquema de carregamento dado onde
\mathrm{q}=44 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e
\mathrm{P}=51 \mathrm{kN},
Se:
\mathrm{b}=31,2 \mathrm{~cm}
\mathrm{e}=7,8 \mathrm{~cm}
\mathrm{h}=39 \mathrm{~cm}
\mathrm{d}=3,9 \mathrm{~cm}
Forneça o coeficiente de segurança geral da viga se o material tem tensão limite na tração de 80 MPa e tensão limite na compressão de 120 MPa ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fornecer o coeficiente de segurança geral da viga, dado o carregamento informado e as propriedades geométricas e de resistência do material.
Informações fornecidas:
  • Carga distribuída: q=44\\ \mathrm{kN/m}.
  • Carga concentrada: P=51\\ \mathrm{kN}.
  • Geometria da seção (fornecida): \,b=31{,}2\\ \mathrm{cm}, \,h=39\\ \mathrm{cm}, \,e=7{,}8\\ \mathrm{cm} (excêntrica), \,d=3{,}9\\ \mathrm{cm}.
  • Resistências do material: tensão limite na tração \,f_t=80\\ \mathrm{MPa} e tensão limite na compressão \,f_c=120\\ \mathrm{MPa}.
Observação importante: o enunciado diz “considerando o esquema de carregamento dado”, porém esse esquema (comprimento do vão, posições das cargas/apoios, posição exata da carga concentrada P ao longo do vão, se q cobre todo o vão, etc.) não foi incluído na mensagem. Esses dados são necessários para obter os momentos fletores máximos provocados por q e por P.

Passo 2

Posso explicar o método completo e calcular tudo que for puramente geométrico (área, momento de inércia) e a contribuição de uma carga axial excêntrica P (isto é, o momento M=P\cdot e), mas não é possível obter o coeficiente de segurança “geral” incluindo os efeitos de q (e de P quando aplicada em posição ao longo do vão) sem saber o comprimento do vão e a posição das cargas/apoios. Por isso, não é possível fornecer um único valor numérico final do coeficiente de segurança geral sem essa informação. A seguir eu mostro passo a passo o método didático (como faria na prova) e calculo a parte que é possível com os dados recebidos.

Passo 3

  1. Determinar as ações internas (momentos fletores máximos M_{\max} e força axial, se houver) a partir do esquema de carregamento:
    • Para q distribuída em vão simples: momento máximo típico é \,M_q=\dfrac{qL^2}{8} (no meio do vão).
    • Para P concentrada em posição genérica: usar os diagramas de momentos ou fórmulas (por ex. se P estiver no meio, M_P=\dfrac{P L}{4}).
    • Se há uma excêntrica e da carga axial P, há também um momento adicional M_e=P\cdot e que age sobre a seção.
    • É preciso combinar (superpor) os momentos devidos a q, ao efeito da posição de P e ao momento de excêntricidade P\cdot e.
  2. Calcular propriedades da seção transversal (usar unidades consistentes, SI):
    • Área da seção: \,A=b\cdot h.
    • Momento de inércia em relação ao eixo neutro (para retângulo): \,I=\dfrac{b\,h^3}{12}.
    • Distância da fibra extrema ao NA: \,y_{\max}=\dfrac{h}{2}.
    • Módulo resistente (geométrico): \,S=\dfrac{I}{y_{\max}}.
  3. Calcular tensões:
    • Tensão axial média: \displaystyle \sigma_a=\dfrac{P}{A} (positivo para compressão, convensão).
    • Tensão de flexão na fibra extrema: \displaystyle \sigma_b=\dfrac{M\,y_{\max}}{I}.
    • Tensão combinada nas fibras extrema (compressão/tensão) — duas extremidades: \sigma_{\text{extremo superior}}=\sigma_a+\sigma_b, \qquad \sigma_{\text{extremo inferior}}=\sigma_a-\sigma_b.A fibra que apresentar sinal negativo (se adotarmos compressão positiva) estará em tração — é essa tensão que compara-se com f_t.
  4. Coeficientes de segurança:
    • Para a fibra que ficar em tração: \displaystyle \text{CS}_t=\dfrac{f_t}{|\sigma_{\text{tração}}|}.çã
    • Para a fibra que ficar em compressão: \displaystyle \text{CS}_c=\dfrac{f_c}{\sigma_{\text{compressão}}}.ã
    • O coeficiente de segurança geral da viga é o menor entre \text{CS}_t e \text{CS}_c (o caso mais exigente).

Passo 4

Converter valores para metros:
  • \,b=31{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}312\\ \mathrm{m}.
  • \,h=39\\ \mathrm{cm}=0{,}39\\ \mathrm{m}.
  • \,e=7{,}8\\ \mathrm{cm}=0{,}078\\ \mathrm{m}.
  • \,P=51\\ \mathrm{kN}=51000\\ \mathrm{N}.
  1. Área:
A = b\cdot h = 0{,}312\cdot 0{,}39 = 0{,}12168\\ \mathrm{m}^2.
  1. Momento de inércia (retângulo):
I = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{0{,}312\cdot (0{,}39)^3}{12} = \frac{0{,}312\cdot 0{,}059319}{12} \approx 0{,}0015413\\ \mathrm{m}^4.
  1. Distância à fibra extrema:
y_{\max}=\frac{h}{2}= \frac{0{,}39}{2}=0{,}195\\ \mathrm{m}.
  1. Módulo resistente:
S=\frac{I}{y_{\max}}=\frac{0{,}0015413}{0{,}195}\approx 0{,}0079017\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Mesmo sem o desenho completo, posso calcular o momento provocado pela excêntricidade e:
M_e = P\cdot e = 51000\cdot 0{,}078 = 3978\\ \mathrm{N\cdot m}.
Tensão de flexão causada por esse momento na fibra extrema:
\sigma_b=\frac{M_e\,y_{\max}}{I} =\frac{3978\cdot 0{,}195}{0{,}0015413} \approx 503{,}4\\ \mathrm{kPa}=0{,}5034\\ \mathrm{MPa}.
Tensão axial média:
\sigma_a=\frac{P}{A}=\frac{51000}{0{,}12168}\approx 419{,}1\\ \mathrm{kPa}=0{,}4191\\ \mathrm{MPa}.
Tensões combinadas nas fibras extremas (adotando compressão positiva):
  • Fibra comprimida (lado onde flexão e compressão somam):
\sigma_{\text{comp}}=\sigma_a+\sigma_b\approx 0{,}4191+0{,}5034=0{,}9225\\ \mathrm{MPa}.
  • Fibra tracionada (lado oposto):
\sigma_{\text{tração}}=\sigma_a-\sigma_b\approx 0{,}4191-0{,}5034=-0{,}0843\\ \mathrm{MPa},çã
ou seja, tensão de tração de magnitude 0{,}0843\\ \mathrm{MPa}.
Agora os coeficientes de segurança correspondentes (considerando apenas P excêntrico e sem o efeito de q):
\text{CS}_t=\frac{f_t}{|\sigma_{\text{tração}}|}=\frac{80}{0{,}0843}\approx 949,çã
\text{CS}_c=\frac{f_c}{\sigma_{\text{comp}}}=\frac{120}{0{,}9225}\approx 130.
Desses, o valor menor é \text{CS}_c\approx 130; portanto, considerando somente a carga axial P com excêntricidade e (e desconsiderando q e o momento flexor que q possa gerar), o coeficiente de segurança mínimo é aproximadamente 130.

Passo 6

  • Não há como fornecer o coeficiente de segurança geral incluindo corretamente o efeito de q (e da posição de P ao longo do vão) sem o esquema/diagrama completo: é preciso pelo menos o comprimento do vão L e a posição da carga P (ou saber se P está no meio, em um extremo, etc.), além dos apoios (simples, engastada, etc.). Sem essas informações, qualquer valor que eu der para incluir q seria uma suposição.
  • O que já foi feito e é útil: cálculo da geometria da seção, cálculo da tensão axial média e do momento devido à excêntricidade P\cdot e e verificação correspondente. Esses valores mostram que a contribuição de P excêntrico sozinha gera tensões muito pequenas comparadas às resistências do material e fornece um coeficiente mínimo aproximadamente igual a 130. Contudo, o termo crítico na maioria das vigas é o momento devido a q (que pode reduzir muito o coeficiente), por isso é indispensável ter o esquema para concluir.
Se quiser, me forneça apenas o comprimento do vão L e a posição de P (ou um desenho/descrição dos apoios e limites de aplicação de q) que eu já calculo o momento devido a q, combino com P\cdot e e retorno o coeficiente de segurança geral completo. Força aí — você já tem quase tudo, falta só o vão/posicionamento!

Resposta

Não é possível calcular o coeficiente de segurança geral porque falta o esquema (comprimento do vão e posição das cargas). Considerando apenas a carga P excêntrica ( e=7{,}8\\ \mathrm{cm}), o coeficiente mínimo obtido é aproximadamente 130.

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