Calcule \int_{C} x^{2} y z d s onde C é o segmento de reta ligando o ponto A=(2,-1,0) (ao ponto B=(4,2,1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2} y z\, d s
onde C é o segmento de reta que liga os pontos A=(2,-1,0) e B=(4,2,1).
Informações dadas:
Ponto inicial A=(2,-1,0).
Ponto final B=(4,2,1).
Função a integrar ao longo da curva: f(x,y,z)=x^{2}y z.
A curva C é justamente o segmento reto de A a B.
O que se pede: o valor numérico da integral de linha de f ao longo de C em relação ao comprimento de arco d s.
Passo 2
Ideia geral do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral de linha do tipo
\int_{C} f(x,y,z)\, d s
parametrizamos a curva C por um vetor \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), com t variando em um intervalo [a,b]. Então a fórmula que usaremos é
\int_{C} f(x,y,z)\, d s \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\, \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial da parametrização e \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert é o módulo dela, que dá a velocidade (ou densidade de comprimento de arco) em função de t. Vou aplicar exatamente isto ao segmento de reta dado.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de A para B.
Uma parametrização padrão para um segmento entre A e B é