Calcule \int_{C} x^{2} y z d s onde C é o segmento de reta ligando o ponto A=(2,-1,0) (ao ponto B=(4,2,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2} y z\, d s
onde C é o segmento de reta que liga os pontos A=(2,-1,0) e B=(4,2,1).
Informações dadas:
  • Ponto inicial A=(2,-1,0).
  • Ponto final B=(4,2,1).
  • Função a integrar ao longo da curva: f(x,y,z)=x^{2}y z.
  • A curva C é justamente o segmento reto de A a B.
O que se pede: o valor numérico da integral de linha de f ao longo de C em relação ao comprimento de arco d s.

Passo 2

Ideia geral do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral de linha do tipo
\int_{C} f(x,y,z)\, d s
parametrizamos a curva C por um vetor \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), com t variando em um intervalo [a,b]. Então a fórmula que usaremos é
\int_{C} f(x,y,z)\, d s \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\, \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial da parametrização e \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert é o módulo dela, que dá a velocidade (ou densidade de comprimento de arco) em função de t. Vou aplicar exatamente isto ao segmento de reta dado.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de A para B.
Uma parametrização padrão para um segmento entre A e B é
\mathbf{r}(t)=A + t(B-A),\qquad t\in[0,1].
Calculando B-A:
B-A=(4-2,\;2-(-1),\;1-0)=(2,3,1).
Assim
\mathbf{r}(t)=\big(2+2t,\\\ -1+3t,\\\ 0+1t\big).
Portanto:
x(t)=2+2t,\qquad y(t)=-1+3t,\qquad z(t)=t,\qquad t\in[0,1].

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e seu módulo \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(2,\;3,\;1).
O módulo é constante (pois a parametrização é afim):
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
Portanto d s=\sqrt{14}\,dt.

Passo 5

Substituir na integral a parametrização e \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert.
Temos f(x,y,z)=x^{2} y z. Substituindo x(t),y(t),z(t),
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=(2+2t)^{2}\,(-1+3t)\,t.
Pela fórmula da Passo 2:
\int_{C} x^{2}y z\, d s = \int_{0}^{1} (2+2t)^{2}(-1+3t)\,t\;\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\, dt = \sqrt{14}\int_{0}^{1} (2+2t)^{2}(-1+3t)\,t\, dt.

Passo 6

Simplificar o integrando antes de integrar para facilitar as contas à mão.
Note que 2+2t=2(1+t), então
(2+2t)^{2}=4(1+t)^{2}.
Logo o integrando é
\sqrt{14}\int_{0}^{1} 4(1+t)^{2}(-1+3t)\,t\, dt.
Retirando o fator 4:
\sqrt{14}\cdot 4\int_{0}^{1} t(1+t)^{2}(-1+3t)\, dt.
Agora expandimos passo a passo para não errar:
(1+t)^{2}=1+2t+t^{2}.
Multiplicando por t:
t(1+t)^{2}=t+2t^{2}+t^{3}.
Multiplicando por (-1+3t):
(t+2t^{2}+t^{3})(-1+3t) = -t -2t^{2}-t^{3} +3t^{2}+6t^{3}+3t^{4}.
Agrupando termos semelhantes:
= -t + t^{2} +5t^{3} +3t^{4}.
Multiplicando por 4 (o fator que ficou fora):
4\big(-t + t^{2} +5t^{3} +3t^{4}\big)= -4t +4t^{2} +20t^{3} +12t^{4}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{C} x^{2}y z\, d s = \sqrt{14}\int_{0}^{1} \big(-4t +4t^{2} +20t^{3} +12t^{4}\big)\, dt.

Passo 7

Integrar termo a termo (fácil de fazer sem calculadora).
Integrando cada monômio em t:
\int_{0}^{1} -4t\,dt = \left[-2t^{2}\right]_{0}^{1} = -2.
\int_{0}^{1} 4t^{2}\,dt = \left[\tfrac{4}{3}t^{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac{4}{3}.
\int_{0}^{1} 20t^{3}\,dt = \left[5t^{4}\right]_{0}^{1} = 5.
\int_{0}^{1} 12t^{4}\,dt = \left[\tfrac{12}{5}t^{5}\right]_{0}^{1} = \tfrac{12}{5}.
Somando os resultados:
-2 + \tfrac{4}{3} + 5 + \tfrac{12}{5}.
Juntando -2 + 5 = 3, então
3 + \tfrac{4}{3} + \tfrac{12}{5}.
Para somar em forma de fração, uso denominador 15:
3 = \tfrac{45}{15},\quad \tfrac{4}{3}=\tfrac{20}{15},\quad \tfrac{12}{5}=\tfrac{36}{15}.
Somando:
\tfrac{45+20+36}{15}=\tfrac{101}{15}.

Passo 8

Multiplicar pelo fator externo \sqrt{14} obtido antes.
Portanto
\int_{C} x^{2}y z\, d s = \sqrt{14}\cdot \frac{101}{15} = \frac{101\sqrt{14}}{15}.

Resposta

\dfrac{101\sqrt{14}}{15}

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