Calcular \int_{C}\left(3 x^{2}-2 y\right) d x+\left(\cos ^{2}\left(\operatorname{sen}^{2} y\right)+x^{2}\right) d y, onde C é o arco da parábola y=9-x^{2}. ligando o ponto (-3,0) ao ponto (3,0).
\overline{A B}=(0,0)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Decidir o método: duas opções comuns são (i) ver se o campo é conservativo (usar potencial) ou (ii) parametrizar a curva e calcular diretamente. Vou testar se o campo é conservativo, porque isso pode simplificar muito.
Para um campo bidimensional (P,Q) ser conservativo em uma região simples basta (entre outras condições) que \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Calculo essas derivadas:
Como -2 não é igual a 2x (em geral), o campo não é conservativo. Portanto não podemos usar um potencial global; a via mais direta é parametrizar a curva C e calcular a integral de linha por substituição.
Passo 3
Parametrização da curva C. Como C é o arco da parábola y=9-x^{2} entre (-3,0) e (3,0), a parametrização natural é tomar x como parâmetro:
Explorar simetrias para simplificar a integral. É muito útil observar paridade (funções pares/ímpares) quando o intervalo é simétrico [-a,a].
A função t\mapsto -2t^{3} é ímpar (pois (-t)^{3}=-t^{3}), então sua integral em [-3,3] é 0.
A função t\mapsto -2t\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big): note que t\mapsto t é ímpar, enquanto a composição \cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big) depende de t^{2} (porque aparece 9-t^{2}), então essa composição é uma função par de t. Produto de uma função ímpar por uma função par é ímpar. Logo -2t\cos^{2}(\sin^{2}(9-t^{2})) é ímpar, portanto sua integral em [-3,3] também é 0.
As parcelas 5t^{2} e -18 são funções pares (constante e função de t^{2}), então elas permanecem.
Logo a integral reduz-se a
\int_{-3}^{3}\big(5t^{2}-18\big)\,dt.
Passo 6
Calcular a integral reduzida com contas explícitas (sem calculadora).
Calculo de \int_{-3}^{3}5t^{2}\,dt:
\int_{-3}^{3}5t^{2}\,dt=5\int_{-3}^{3}t^{2}\,dt.
Como t^{2} é par, \int_{-3}^{3}t^{2}\,dt=2\int_{0}^{3}t^{2}\,dt. Então
Portanto, juntando tudo (e lembrando que as partes ímpares deram zero), o valor da integral de linha pedida é -18.
Força aí — deu trabalho, mas a simetria salvou: os termos complicados que envolvem \cos^{2}(\sin^{2}(\cdot)) caíram por serem multiplicados por t e, por isso, integraram zero no intervalo simétrico.