Calcular \int_{C}\left(3 x^{2}-2 y\right) d x+\left(\cos ^{2}\left(\operatorname{sen}^{2} y\right)+x^{2}\right) d y, onde C é o arco da parábola y=9-x^{2}. ligando o ponto (-3,0) ao ponto (3,0).
\overline{A B}=(0,0)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • É dado o campo de linha (forma diferencial)
P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy
com
P(x,y)=3x^{2}-2y,\qquad Q(x,y)=\cos^{2}\!\big(\sin^{2}y\big)+x^{2}.
  • A curva C é o arco da parábola \;y=9-x^{2}\; que liga o ponto (-3,0) ao ponto (3,0).
  • O enunciado também apresenta \overline{A B}=(0,0) (este é um dado textual fornecido no enunciado).
  • O que se pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\big(3 x^{2}-2 y\big)\,dx+\big(\cos^{2}\!\big(\sin^{2}y\big)+x^{2}\big)\,dy.

Passo 2

Decidir o método: duas opções comuns são (i) ver se o campo é conservativo (usar potencial) ou (ii) parametrizar a curva e calcular diretamente. Vou testar se o campo é conservativo, porque isso pode simplificar muito.
Para um campo bidimensional (P,Q) ser conservativo em uma região simples basta (entre outras condições) que \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Calculo essas derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}-2y\big)=-2,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos^{2}(\sin^{2}y)+x^{2}\big)=2x.
Como -2 não é igual a 2x (em geral), o campo não é conservativo. Portanto não podemos usar um potencial global; a via mais direta é parametrizar a curva C e calcular a integral de linha por substituição.

Passo 3

Parametrização da curva C. Como C é o arco da parábola y=9-x^{2} entre (-3,0) e (3,0), a parametrização natural é tomar x como parâmetro:
x(t)=t,\qquad y(t)=9-t^{2},\qquad t\in[-3,3].
Então
dx=dt,\qquad dy=\frac{d}{dt}(9-t^{2})\,dt=-2t\,dt.
Vou usar essa parametrização para transformar a integral de linha em uma integral em t.

Passo 4

Substituir x=t, y=9-t^{2}, dx=dt, dy=-2t\,dt na integranda.
Primeiro calcular P ao longo da curva:
P(t)=3t^{2}-2y=3t^{2}-2(9-t^{2})=3t^{2}-18+2t^{2}=5t^{2}-18.
Calcular Q ao longo da curva:
Q(t)=\cos^{2}\!\big(\sin^{2}y\big)+x^{2}=\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big)+t^{2}.
Agora montar P\,dx+Q\,dy:
P\,dx+Q\,dy=\big(5t^{2}-18\big)\,dt+\Big(\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big)+t^{2}\Big)(-2t\,dt).
Distribuindo,
P\,dx+Q\,dy=\big(5t^{2}-18\big)\,dt-2t\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big)\,dt-2t^{3}\,dt.
Ou seja, a integral fica
\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{-3}^{3}\big(-2t^{3}+5t^{2}-18-2t\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big)\big)\,dt.

Passo 5

Explorar simetrias para simplificar a integral. É muito útil observar paridade (funções pares/ímpares) quando o intervalo é simétrico [-a,a].
  • A função t\mapsto -2t^{3} é ímpar (pois (-t)^{3}=-t^{3}), então sua integral em [-3,3] é 0.
  • A função t\mapsto -2t\cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big): note que t\mapsto t é ímpar, enquanto a composição \cos^{2}\!\big(\sin^{2}(9-t^{2})\big) depende de t^{2} (porque aparece 9-t^{2}), então essa composição é uma função par de t. Produto de uma função ímpar por uma função par é ímpar. Logo -2t\cos^{2}(\sin^{2}(9-t^{2})) é ímpar, portanto sua integral em [-3,3] também é 0.
  • As parcelas 5t^{2} e -18 são funções pares (constante e função de t^{2}), então elas permanecem.
Logo a integral reduz-se a
\int_{-3}^{3}\big(5t^{2}-18\big)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral reduzida com contas explícitas (sem calculadora).
Calculo de \int_{-3}^{3}5t^{2}\,dt:
\int_{-3}^{3}5t^{2}\,dt=5\int_{-3}^{3}t^{2}\,dt.
Como t^{2} é par, \int_{-3}^{3}t^{2}\,dt=2\int_{0}^{3}t^{2}\,dt. Então
\int_{-3}^{3}t^{2}\,dt=2\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=2\cdot\frac{27}{3}=2\cdot9=18.
Portanto
\int_{-3}^{3}5t^{2}\,dt=5\cdot18=90.
Calculo de \int_{-3}^{3}-18\,dt:
\int_{-3}^{3}-18\,dt=-18\cdot(3-(-3))=-18\cdot6=-108.
Somando as parcelas:
\int_{-3}^{3}\big(5t^{2}-18\big)\,dt=90-108=-18.

Passo 7

Portanto, juntando tudo (e lembrando que as partes ímpares deram zero), o valor da integral de linha pedida é -18.
Força aí — deu trabalho, mas a simetria salvou: os termos complicados que envolvem \cos^{2}(\sin^{2}(\cdot)) caíram por serem multiplicados por t e, por isso, integraram zero no intervalo simétrico.

Resposta

-18

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