Calcule.
\int \cos ^{2} \frac{x}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar identidade trigonométrica para transformar \cos^2 em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade do ângulo duplo
\cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2}
com u = \frac{x}{2}. Assim,
\cos^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) = \frac{1 + \cos\bigl(2\cdot\frac{x}{2}\bigr)}{2} = \frac{1 + \cos(x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cos^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = \int \frac{1 + \cos(x)}{2}\,dx = \frac12 \int 1\,dx + \frac12 \int \cos(x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\frac12 \int 1\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \frac12 \int \cos(x)\,dx = \frac12 \sin(x).
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada.

Resposta

\frac{x}{2} + \frac{\sin(x)}{2} + C.

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