Calcule.
\int \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{2}x \, dx
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade do ângulo duplo (ou meia-soma) para reescrever \cos^{2}x numa forma mais fácil de integrar.

Passo 2

A identidade do ângulo duplo nos diz que
\cos^{2}x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.

Passo 3

Substituindo essa identidade na integral, obtemos
\int \cos^{2}x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \bigl(1 + \cos(2x)\bigr) \, dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{1}{2}\,x,
\frac{1}{2} \int \cos(2x)\, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{\sin(2x)}{4}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, ficamos com
\int \cos^{2}x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C.

Resposta

\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C

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