Calcule.
\int \cos ^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^{2}(2x)\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas de potência, e vamos usar a identidade de redução de potência para transformar \cos^{2}(2x) em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}.
Substituindo na integral, fica
\int \cos^{2}(2x)\,dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2}\,dx.

Passo 3

Fatorando \tfrac{1}{2} e separando em duas integrais, obtemos
\int \frac{1 + \cos(4x)}{2}\,dx = \frac12 \int 1\,dx \;+\; \frac12 \int \cos(4x)\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada parte:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\,\sin(4x) (usando u=4x, du=4\,dx).
Portanto,
\frac12 \int 1\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \frac12 \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{8}\,\sin(4x).

Passo 5

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, concluímos
\int \cos^{2}(2x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\,\sin(4x) + C.

Resposta

\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin(4x) + C

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