Calcule.
\int \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{4}x \,dx
O conteúdo aqui é “redução de potência” em integração de funções trigonométricas, usando as identidades \cos^{2}x = \tfrac{1+\cos2x}{2} e \cos^{2}2x = \tfrac{1+\cos4x}{2}.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a identidade de redução em \cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2}:
\cos^{4}x = \Bigl(\frac{1 + \cos 2x}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 + 2\cos2x + \cos^{2}2x\bigr).

Passo 3

Agora usamos a identidade para \cos^{2}2x:
\cos^{2}2x = \frac{1 + \cos4x}{2}.
Substituindo em \cos^{4}x, obtemos
\cos^{4}x = \frac{1}{4}\Bigl(1 + 2\cos2x + \frac{1 + \cos4x}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{8}\cos4x.

Passo 4

Reescrevemos a integral como soma de termos fáceis:
\int \cos^{4}x \,dx = \int\Bigl(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{8}\cos4x\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}x, \qquad \int \frac{1}{2}\cos2x\,dx = \frac{1}{4}\sin2x, \qquad \int \frac{1}{8}\cos4x\,dx = \frac{1}{32}\sin4x.
Somando tudo e incluindo a constante C, resulta

Resposta

\int \cos^{4}x\,dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{32}\sin4x + C.

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