Calcule:
\int 0 d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \int 0\,dx.
Informações dadas: a função integranda é a função zero, isto é, para todo x temos f(x)=0.
Objetivo explícito: encontrar as primitivas (antiderivadas) dessa função — ou seja, todas as funções F tais que F'(x)=0 para todo x.

Passo 2

Conceito necessário: integral indefinida e primitiva.
A integral indefinida \int f(x)\,dx representa o conjunto de todas as funções F(x) cuja derivada é f(x). Em símbolos: uma função F é primitiva de f se e somente se F'(x)=f(x) para todo x no domínio considerado.
Aqui queremos todas as funções F com F'(x)=0.

Passo 3

Mostrando que qualquer função constante tem derivada zero.
Se definimos F(x)=K, onde K é um número fixo (constante), então por definição da derivada, para qualquer x:
F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{K-K}{h}=\lim_{h\to 0}0=0.
Logo, toda função constante tem derivada igual a zero, ou seja, toda função constante é uma primitiva da função zero.

Passo 4

Mostrando que toda primitiva de 0 é constante (recíproco).
Se F é uma função tal que F'(x)=0 para todo x em um intervalo, então pelo Teorema do Valor Médio: para quaisquer a e b no intervalo existe c entre a e b com
F'\text{(c)}=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.
Mas F'\text{(c)}=0 por hipótese, então \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=0, o que implica F(b)=F(a). Como isso vale para quaisquer a,b, F é constante no intervalo. Portanto, toda primitiva de 0 é uma função constante.

Passo 5

Conclusão teórica sobre as primitivas de 0.
Unindo os passos anteriores: (i) toda função constante tem derivada zero; (ii) toda função cuja derivada é zero é constante. Assim, o conjunto de todas as primitivas da função zero é exatamente o conjunto das funções constantes (uma constante arbitrária).

Passo 6

Observações práticas e exemplo de integral definida.
  • Indefinida: a integral \int 0\,dx representa “uma constante arbitrária”.
  • Exemplo de integral definida: para quaisquer a<b,
\int_{a}^{b} 0\,dx = 0,
porque a área sob a curva y=0 entre a e b é zero (ou, pela propriedade da integral definida, é 0\cdot(b-a)=0).

Resposta

\displaystyle \int 0\,dx = C

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