Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas: a função integranda é a função zero, isto é, para todo temos
.
Objetivo explícito: encontrar as primitivas (antiderivadas) dessa função — ou seja, todas as funções tais que
para todo
.
Informações dadas: a função integranda é a função zero, isto é, para todo
Objetivo explícito: encontrar as primitivas (antiderivadas) dessa função — ou seja, todas as funções
Passo 2
Conceito necessário: integral indefinida e primitiva.
A integral indefinida representa o conjunto de todas as funções
cuja derivada é
. Em símbolos: uma função
é primitiva de
se e somente se
para todo
no domínio considerado.
Aqui queremos todas as funções com
.
A integral indefinida
Aqui queremos todas as funções
Passo 3
Mostrando que qualquer função constante tem derivada zero.
Se definimos , onde
é um número fixo (constante), então por definição da derivada, para qualquer
:
Se definimos
Logo, toda função constante tem derivada igual a zero, ou seja, toda função constante é uma primitiva da função zero.
Passo 4
Mostrando que toda primitiva de
é constante (recíproco).
Se é uma função tal que
para todo
em um intervalo, então pelo Teorema do Valor Médio: para quaisquer
e
no intervalo existe
entre
e
com
Se
Mas
por hipótese, então
, o que implica
. Como isso vale para quaisquer
,
é constante no intervalo. Portanto, toda primitiva de
é uma função constante.
Passo 5
Conclusão teórica sobre as primitivas de
.
Unindo os passos anteriores: (i) toda função constante tem derivada zero; (ii) toda função cuja derivada é zero é constante. Assim, o conjunto de todas as primitivas da função zero é exatamente o conjunto das funções constantes (uma constante arbitrária).
Unindo os passos anteriores: (i) toda função constante tem derivada zero; (ii) toda função cuja derivada é zero é constante. Assim, o conjunto de todas as primitivas da função zero é exatamente o conjunto das funções constantes (uma constante arbitrária).
Passo 6
Observações práticas e exemplo de integral definida.
- Indefinida: a integral
representa “uma constante arbitrária”. - Exemplo de integral definida: para quaisquer
,
porque a área sob a curva
entre
e
é zero (ou, pela propriedade da integral definida, é
).