Calcule:
\int_{-2}^{3}\left(5+x-6 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{3}\left(5+x-6 x^{2}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é 5+x-6x^{2}.
  • O intervalo de integração é de a=-2 até b=3.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva (antiderivada) de f, isto é F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Regras úteis que vamos aplicar:
  • Linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx e \displaystyle \int c\,f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx para constante c.
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui C é a constante de integração (não importa para integral definida, porque ela se cancela).

Passo 3

Aplicando linearidade, separamos a integral em partes mais simples:
\int_{-2}^{3}\left(5+x-6x^{2}\right)\,dx = \int_{-2}^{3}5\,dx + \int_{-2}^{3}x\,dx -6\int_{-2}^{3}x^{2}\,dx.
Isso apenas distribui a soma e a constante -6 para integrais individuais.

Passo 4

Calculamos as antiderivadas (primitivas) de cada parcela usando a regra da potência e a regra da constante:
  • Para 5: \displaystyle \int 5\,dx = 5x + C.
  • Para x: \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
  • Para x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
    Multiplicando a terceira por -6 obtemos -6\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = -2x^{3}.
    Portanto uma primitiva da integranda é
F(x)=5x+\frac{x^{2}}{2}-2x^{3}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-2}^{3}\left(5+x-6x^{2}\right)\,dx = F(3)-F(-2).
Calculando F(3):
F(3)=5\cdot 3 + \frac{3^{2}}{2} - 2\cdot 3^{3} =15 + \frac{9}{2} - 2\cdot 27 =15 + \frac{9}{2} -54.
Colocando em denominador comum 2:
15+\frac{9}{2}-54 = \frac{30}{2}+\frac{9}{2}-\frac{108}{2} = \frac{39-108}{2} = -\frac{69}{2}.
Calculando F(-2):
F(-2)=5\cdot(-2)+\frac{(-2)^{2}}{2}-2\cdot(-2)^{3} =-10+\frac{4}{2}-2\cdot(-8) =-10+2+16=8.

Passo 6

Subtraindo:
F(3)-F(-2) = -\frac{69}{2} - 8 = -\frac{69}{2} - \frac{16}{2} = -\frac{85}{2}.
Se quiser ver em decimal, isso é -42{,}5, mas a forma fracionária é preferível.

Resposta

-\dfrac{85}{2}

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