Calcule:
\int_{-2}^{3} 7 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \int_{-2}^{3} 7\,dx.
Informações dadas: a função integranda é a constante 7 e o intervalo de integração é [-2,3].
Pergunta explícita: determinar o valor numérico de \int_{-2}^{3} 7\,dx.

Passo 2

Entendimento geométrico (interpretação como área): a função f(x)=7 é uma reta horizontal de altura 7. A integral definida de uma função constante sobre um intervalo é a área de um retângulo de altura igual ao valor da constante e largura igual ao comprimento do intervalo. Aqui a largura é
3-(-2)=5.
Portanto, pela interpretação de área, o valor da integral é 7 multiplicado pela largura 5. Vou explicar por que isso vale em termos gerais a seguir.

Passo 3

Fórmula geral e justificativa por somas de Riemann: para uma constante c e intervalo [a,b] tem-se
\int_{a}^{b} c\,dx = c(b-a).
Explicando as letras: c é a constante (altura do retângulo), a é o limite inferior e b é o limite superior; b-a é a largura do intervalo. Justificativa rápida por Riemann: se dividirmos o intervalo em n subintervalos de largura \Delta x=(b-a)/n, a soma de Riemann usando pontos qualquer em cada subintervalo dá
\sum_{i=1}^{n} c\Delta x = c\sum_{i=1}^{n}\Delta x = c\cdot n\Delta x = c(b-a).
No limite n\to\infty obtemos a integral e portanto a fórmula é verdadeira.

Passo 4

Método do antiderivada (Teorema Fundamental do Cálculo): uma primitiva de 7 é 7x porque a derivada de 7x é 7. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{3} 7\,dx = \big[7x\big]_{-2}^{3} = 7\cdot 3 - 7\cdot(-2) = 21 + 14 = 35.

Passo 5

Verificação rápida com a interpretação de área: 7 (altura) vezes 5 (largura) dá 35, que coincide com o resultado pelo método da primitiva. Está consistente.

Resposta

35

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