Calcule:
\int_{-4}^{4}\left(t^{5}+2 t^{3}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-4}^{4}\left(t^{5}+2 t^{3}\right)\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando }=t^{5}+2t^{3},
\text{intervalo }=[-4,4],
e o intervalo é simétrico em torno de \,0.

Passo 2

Observação útil sobre a função que aparece no integrando. Vou verificar se \,t^{5}+2t^{3}\, é uma função ímpar ou par. Uma função f é ímpar quando f(-t)=-f(t). Calculo f(-t):
f(-t)=(-t)^{5}+2(-t)^{3} = -t^{5} - 2t^{3} = -(t^{5}+2t^{3}) = -f(t).
Portanto f é uma função ímpar.

Passo 3

Teorema sobre integrais em intervalos simétricos (explicação rápida): se f é ímpar, ou seja f(-t)=-f(t), então a área positiva de um lado do zero cancela exatamente a área negativa do outro lado, e
\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 0.
Uma demonstração curta por substituição: escrevendo
\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = \int_{0}^{a} f(t)\,dt + \int_{0}^{-a} f(t)\,dt
e fazendo u=-t no segundo termo mostra que ele é o negativo do primeiro, daí a soma é zero.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso: como t^{5}+2t^{3} é ímpar e o intervalo [-4,4] é simétrico, concluímos imediatamente que
\int_{-4}^{4}\left(t^{5}+2 t^{3}\right)\,dt = 0.
Isso já resolve o exercício de forma curta e elegante.

Passo 5

Para treinar a técnica padrão que você pode usar na prova (caso não reconheça a paridade), vou também mostrar a integração direta pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da potência. Regra da potência (aula rápida): para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usaremos isso para obter uma primitiva.

Passo 6

Calculo a primitiva \,F(t)\, do integrando:
\int \left(t^{5}+2t^{3}\right)\,dt = \int t^{5}\,dt + 2\int t^{3}\,dt = \frac{t^{6}}{6} + 2\cdot\frac{t^{4}}{4} + C.
Simplificando o segundo termo:
2\cdot\frac{t^{4}}{4} = \frac{t^{4}}{2},
logo uma primitiva válida é
F(t)=\frac{t^{6}}{6} + \frac{t^{4}}{2}.

Passo 7

Avalio a integral definida usando F:
\int_{-4}^{4}\left(t^{5}+2 t^{3}\right)\,dt = F(4)-F(-4).
Calculo F(4) e F(-4). Como 4^{6}=4096 e 4^{4}=256, temos
F(4)=\frac{4096}{6}+\frac{256}{2}=\frac{4096}{6}+128.
Para -4 os expoentes pares anulam o sinal, então (-4)^{6}=4096 e (-4)^{4}=256, portanto
F(-4)=\frac{4096}{6}+\frac{256}{2}=\frac{4096}{6}+128.
Logo
F(4)-F(-4)=0.

Resposta

0

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