Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
e o intervalo é simétrico em torno de
.
Passo 2
Observação útil sobre a função que aparece no integrando. Vou verificar se
é uma função ímpar ou par. Uma função
é ímpar quando
. Calculo
:
Portanto
é uma função ímpar.
Passo 3
Teorema sobre integrais em intervalos simétricos (explicação rápida): se
é ímpar, ou seja
, então a área positiva de um lado do zero cancela exatamente a área negativa do outro lado, e
Uma demonstração curta por substituição: escrevendo
e fazendo
no segundo termo mostra que ele é o negativo do primeiro, daí a soma é zero.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso caso: como
é ímpar e o intervalo
é simétrico, concluímos imediatamente que
Isso já resolve o exercício de forma curta e elegante.
Passo 5
Para treinar a técnica padrão que você pode usar na prova (caso não reconheça a paridade), vou também mostrar a integração direta pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da potência. Regra da potência (aula rápida): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui usaremos isso para obter uma primitiva.
Passo 6
Calculo a primitiva
do integrando:
Simplificando o segundo termo:
logo uma primitiva válida é
Passo 7
Avalio a integral definida usando
:
Calculo
e
. Como
e
, temos
Para
os expoentes pares anulam o sinal, então
e
, portanto
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