Calcule.
\int(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x\biggr)^{2}dx.
O conteúdo principal aqui é integrar uma expressão trigonométrica ao quadrado, usando expansão e identidades de redução de potência.

Passo 2

Expandimos o quadrado para simplificar a integral:
\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x\biggr)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos2x+\cos^{2}2x\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos4x}{2}
para reescrever o termo \cos^{2}2x. Assim,
1+2\cos2x+\cos^{2}2x =1+2\cos2x+\frac{1+\cos4x}{2} =\frac{3+4\cos2x+\cos4x}{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{4}, obtemos
\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x\biggr)^{2} =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int\frac{3}{8}dx=\frac{3}{8}x, \quad \int\frac{1}{2}\cos2x\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin2x}{2} =\frac{1}{4}\sin2x, \quad \int\frac{1}{8}\cos4x\,dx =\frac{1}{8}\cdot\frac{\sin4x}{4} =\frac{1}{32}\sin4x.

Resposta

\int\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x\biggr)^{2}dx =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x+C.

Exercícios relacionados