Calcule.
\int \frac{\csc w \cos w}{\operatorname{sen} w} d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\csc w \,\cos w}{\sin w}\,dw.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e vamos usar técnicas de simplificação algébrica e substituição.

Passo 2

Primeiro, escrevemos tudo em termos de \sin w e \cos w. Lembrando que \csc w = \frac{1}{\sin w}, temos
\frac{\csc w \,\cos w}{\sin w} = \frac{\frac{1}{\sin w}\,\cos w}{\sin w} = \frac{\cos w}{\sin^2 w}.

Passo 3

Observamos que a derivada de \sin w é \cos w. Então fazemos a substituição
u = \sin w, \quad du = \cos w\,dw.
Assim a integral fica
\int \frac{\cos w}{\sin^2 w}\,dw = \int \frac{1}{u^2}\,du = \int u^{-2}\,du.

Passo 4

Usamos a fórmula da integral de potência, \int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui n=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável original, u=\sin w, obtemos
-\,\frac{1}{\sin w} + C = -\csc w + C.

Resposta

-\csc w + C

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