Calcule.
\int \frac{\left(1+\cot ^{2} z\right) \cot z}{\csc z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{(1+\cot^2 z)\,\cot z}{\csc z}\,dz.
Esse é um integral que envolve funções trigonométricas e requer uso de identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1 + \cot^2 z = \csc^2 z
para simplificar o integrando:
\frac{(1+\cot^2 z)\,\cot z}{\csc z} = \frac{\csc^2 z\,\cot z}{\csc z} = \csc z\,\cot z.

Passo 3

Observamos que a derivada de \csc z é
\frac{d}{dz}(\csc z) = -\csc z\,\cot z,
o que implica
\csc z\,\cot z\,dz = -\,d(\csc z).
Fazendo a substituição u = \csc z, vem du = -\csc z\,\cot z\,dz.

Passo 4

Com a substituição, o integral fica
\int \csc z\,\cot z\,dz = -\int du = -u + C = -\csc z + C.

Resposta

-\csc z + C

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