Calcule.
\int \frac{\left(t^{2}+3\right)^{2}}{t^{6}} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{(t^{2}+3)^{2}}{t^{6}}\,dt.
Trata-se de uma função racional em que podemos primeiro expandir o quadrado no numerador e depois usar a regra de potência para cada termo.

Passo 2

Expandimos o polinômio (t^{2}+3)^{2} e dividimos por t^{6}:
(t^{2}+3)^{2} = t^{4} + 6t^{2} + 9,
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\frac{(t^{2}+3)^{2}}{t^{6}} = \frac{t^{4}}{t^{6}} + \frac{6t^{2}}{t^{6}} + \frac{9}{t^{6}} = t^{-2} + 6\,t^{-4} + 9\,t^{-6}.

Passo 3

Usamos a regra de potência
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1)
para integrar cada termo separadamente:
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-1}}{-1} = -\,t^{-1},
\int 6\,t^{-4}\,dt = 6\;\frac{t^{-3}}{-3} = -\,2\,t^{-3},
\int 9\,t^{-6}\,dt = 9\;\frac{t^{-5}}{-5} = -\,\frac{9}{5}\,t^{-5}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \frac{(t^{2}+3)^{2}}{t^{6}}\,dt = -\,t^{-1} \;-\;2\,t^{-3} \;-\;\frac{9}{5}\,t^{-5} \;+\; C.

Resposta

-\,\frac{1}{t}\;-\;\frac{2}{t^{3}}\;-\;\frac{9}{5\,t^{5}}\;+\;C.

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