Calcule.
\int \frac{(\sqrt{t}+2)^{2}}{t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(\sqrt{t}+2)^{2}}{t^{3}}\,dt.
O conteúdo é integração de funções-potência, e vamos usar expansão algébrica e a regra
\displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado no numerador:
(\sqrt{t}+2)^{2} = t + 4\sqrt{t} + 4.

Passo 3

Agora dividimos cada termo por t^{3}:
\frac{t + 4\sqrt{t} + 4}{t^{3}} = t^{-2} + 4\,t^{-5/2} + 4\,t^{-3}.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potência:
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-1}}{-1} = -t^{-1},
\int 4\,t^{-5/2}\,dt = 4\cdot\frac{t^{-3/2}}{-3/2} = -\frac{8}{3}\,t^{-3/2},
\int 4\,t^{-3}\,dt = 4\cdot\frac{t^{-2}}{-2} = -2\,t^{-2}.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos:
-\,t^{-1} \;-\;\frac{8}{3}\,t^{-3/2}\;-\;2\,t^{-2} \;+\;C.

Resposta

-\,\frac{1}{t}\;-\;\frac{8}{3\,t^{3/2}}\;-\;\frac{2}{t^{2}}\;+\;C

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