Calcule.
\int \frac{\operatorname{sec} w \operatorname{sen} w}{\cos w} d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sec} w \sin w}{\cos w}\,dw.
Aqui vamos usar identidades trigonométricas e o método de substituição.

Passo 2

Usando \operatorname{sec} w = \tfrac{1}{\cos w}, a integranda fica
\frac{\operatorname{sec} w \sin w}{\cos w} = \frac{1}{\cos w}\,\frac{\sin w}{\cos w} = \frac{\sin w}{\cos^2 w}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos w \quad\Longrightarrow\quad du = -\sin w\,dw \quad\Longrightarrow\quad \sin w\,dw = -du.
Assim a integral vira
\int \frac{\sin w}{\cos^2 w}\,dw = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\int u^{-2}\,du = -\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = u^{-1} + C.
Voltando a w, temos u^{-1} = 1/\cos w = \operatorname{sec} w.

Resposta

\operatorname{sec} w + C

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