Calcule.
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-9 x-2}{x-2} d x, x \neq 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-9x-2}{x-2}\,dx,
com x\neq2. O conteúdo aqui é integração de uma função racional onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. Vamos usar divisão de polinômios para reescrever o integrando e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicando divisão de polinômios (ou sintética em x=2) a
\frac{x^{3}+3x^{2}-9x-2}{x-2},
temos:
Coeficientes de x^{3}+3x^{2}-9x-2 são 1,\;3,\;-9,\;-2. Usando 2 na divisão sintética:
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 3 & -9 & -2 \\\ & & 2 & 10 & 2 \\\ \hline & 1 & 5 & 1 & 0 \end{array}
Isso mostra que
\frac{x^{3}+3x^{2}-9x-2}{x-2} = x^{2}+5x+1
sem resto.

Passo 3

Portanto a integral vira
\int (x^{2}+5x+1)\,dx.
Agora é só integrar cada termo usando \displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 4

Calculando termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int 5x\,dx = \frac{5x^{2}}{2}, \quad \int 1\,dx = x.
Somando tudo, obtemos
\int (x^{2}+5x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + x + C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + x + C}.

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