Calcule.
\int \frac{x^{3}-1}{x-1} d x, x \neq 1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{x^{3}-1}{x-1}\,dx,
para x\neq1. O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos precisar usar divisão polinomial para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3}-1 por x-1, temos:
x^{3}-1 = (x-1)\,(x^{2}+x+1).

Passo 3

Com isso, o integrando simplifica-se para
\frac{x^{3}-1}{x-1} = x^{2}+x+1,
logo a integral vira
\int (x^{2}+x+1)\,dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 1\,dx = x.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + C

Exercícios relacionados