Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} e \gamma(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Nos dão o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}.
  • Nos dão a curva paramétrica \gamma(t)=\big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big) com 0\le t\le1.
  • O que se pede é o integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Ou seja: calcular o trabalho (produto escalar) de \vec{F} ao longo da trajetória \gamma.

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos para calcular integrais de linha de um campo vetorial por parametrização da curva.
Se \gamma é dada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com a\le t\le b, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado ao longo da curva (substituir x=x(t),y=y(t),z=z(t)).
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetor da parametrização, isto é \big(x'(t),y'(t),z'(t)\big).
  • O ponto central: fazemos produto escalar componente a componente e integramos em t.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) da curva \gamma(t)=\big(t,t^{2},t^{3}\big).
Derivando cada componente em relação a t:
  • x(t)=t \Rightarrow x'(t)=1.
  • y(t)=t^{2} \Rightarrow y'(t)=2t.
  • z(t)=t^{3} \Rightarrow z'(t)=3t^{2}.
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\vec{r}\,'(t)=\big(1,\,2t,\,3t^{2}\big).

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva: calcular \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\vec{F}\big(t,t^{2},t^{3}\big).
Substituindo x=t, y=t^{2}, z=t^{3} na fórmula de \vec{F}:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\big(t^{2},\,t^{4},\,t^{6}\big).
Expliquei: cada componente é o quadrado da respectiva coordenada da curva.

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t).
Calculamos componente a componente e somamos:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) = t^{2}\cdot 1 \;+\; t^{4}\cdot(2t) \;+\; t^{6}\cdot(3t^{2}).
Simplificando cada termo:
t^{2} + 2t^{5} + 3t^{8}.
Portanto, pela fórmula do passo 2,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(t^{2}+2t^{5}+3t^{8}\big)\,dt.

Passo 6

Integrar polinômios termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de t^{n} é \dfrac{t^{n+1}}{n+1}.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}.
\int_{0}^{1} 2t^{5}\,dt=2\left[\dfrac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=2\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}.
\int_{0}^{1} 3t^{8}\,dt=3\left[\dfrac{t^{9}}{9}\right]_{0}^{1}=3\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}.
Somando os três contributions:
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1.

Passo 7

Observação alternativa (útil na prova): o campo \vec{F} é conservativo, porque existe potencial escalar
\varphi(x,y,z)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{3}}{3}+\dfrac{z^{3}}{3},
pois \nabla \varphi=(x^{2},y^{2},z^{2})=\vec{F}. Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\big(\text{ponto final}\big)-\varphi\big(\text{ponto inicial}\big).
Aqui a curva vai de \gamma(0)=(0,0,0) até \gamma(1)=(1,1,1). Então
\varphi(1,1,1)-\varphi(0,0,0)=\dfrac{1+1+1}{3}-0=1,
confirmando o resultado obtido por parametrização.

Resposta

1

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