Calcule
sendo dados:
e
.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Nos dão o campo vetorial
. - Nos dão a curva paramétrica
com . - O que se pede é o integral de linha
.
Ou seja: calcular o trabalho (produto escalar) de
ao longo da trajetória
.
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos para calcular integrais de linha de um campo vetorial por parametrização da curva.
Se
é dada por
com
, então
Aqui:
-
é o campo avaliado ao longo da curva (substituir ). -
é a derivada vetor da parametrização, isto é . - O ponto central: fazemos produto escalar componente a componente e integramos em
.
Passo 3
Calcular
da curva
.
Derivando cada componente em relação a
:
-
. -
. -
.
Logo
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: calcular
.
Substituindo
,
,
na fórmula de
:
Expliquei: cada componente é o quadrado da respectiva coordenada da curva.
Passo 5
Fazer o produto escalar
.
Calculamos componente a componente e somamos:
Simplificando cada termo:
Portanto, pela fórmula do passo 2,
Passo 6
Integrar polinômios termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de
é
.
Calcule cada integral:
Somando os três contributions:
Passo 7
Observação alternativa (útil na prova): o campo
é conservativo, porque existe potencial escalar
pois
. Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos,
Aqui a curva vai de
até
. Então
confirmando o resultado obtido por parametrização.
Resposta
1