Defina em
conjunto limitado superiormente e elemento máximo de um conjunto.
Passo 1
O enunciado pede duas definições formuladas no contexto de inteiros (
):
- Definir o que é um conjunto limitado superiormente em
. - Definir o que é um elemento máximo de um conjunto (em
).
Informações dadas/assumidas: trabalhar com subconjuntos
; não foram fornecidos exemplos nem restrições adicionais.
Passo 2
Definição formal de conjunto limitado superiormente (em
).
Um subconjunto
é dito limitado superiormente se existe um inteiro
tal que, para todo
, vale
Esse
chama-se um limite superior (ou maiorante) de
.
Explicação didática: isso significa que todos os elementos de estão “à esquerda” ou iguais ao inteiro
na reta dos inteiros; por exemplo,
é limitado superiormente porque podemos tomar
(ou qualquer inteiro maior, como
).
Explicação didática: isso significa que todos os elementos de
Passo 3
Observação sobre variações na definição.
É comum em análise permitir que o maiorante
seja um número real. Aqui, porque o enunciado pediu "em
", adotamos
. Se permitíssemos
, a definição seria análoga e mais geral; ambas as formas são usadas, dependendo do contexto.
Passo 4
Definição formal de elemento máximo (em
).
Dado
, um elemento
é chamado elemento máximo de
se, para todo
, vale
Explicação didática: o máximo é um membro do conjunto que é maior ou igual a todos os outros membros. Por exemplo, em
o máximo é
. Note a diferença: um maiorante precisa apenas ser maior ou igual a todos os elementos, mas não precisa pertencer a
; já o máximo deve pertencer a
.
Passo 5
Relação entre as duas definições e propriedades importantes (com prova curta).
-
Se
tem um elemento máximo , então é limitado superiormente (basta tomar ). Simples. -
Para conjuntos de inteiros, existe uma propriedade prática: toda parte não vazia
que é limitada superiormente tem um máximo. Prova curta e construtiva: seja e seja um maiorante de . Escolha algum . Considere os inteiros . Como , após no máximo passos chegamos a ; ao percorrer essa lista de inteiros de cima para baixo, o primeiro inteiro encontrado que pertença a existe e é, por construção, o maior elemento de . Assim o máximo existe. (Essa prova usa que entre dois inteiros há um número finito de inteiros — discreção dos inteiros.) -
Unicidade do máximo: se
e são máximos de , então e , logo .
Passo 6
Exemplos para fixar a ideia.
- Exemplo 1:
. Aqui é limitado superiormente (por exemplo por ) e tem máximo . - Exemplo 2:
. Esse é limitado superiormente por e, como está escrito (todos e inteiros), , logo o máximo é . - Comparação com reais: o intervalo
é limitado superiormente por mas não tem máximo porque . Nos inteiros, a discreção evita esse tipo de problema quando o conjunto é não vazio e limitado acima.
Resposta
Um subconjunto
é limitado superiormente se existe
tal que, para todo
,
.
Um elemento
é elemento máximo de
se, para todo
,
.