Defina em \mathbb{Z} conjunto limitado superiormente e elemento máximo de um conjunto.

Passo 1

O enunciado pede duas definições formuladas no contexto de inteiros ( \mathbb{Z}):
  • Definir o que é um conjunto limitado superiormente em \mathbb{Z}.
  • Definir o que é um elemento máximo de um conjunto (em \mathbb{Z}).
Informações dadas/assumidas: trabalhar com subconjuntos A\subseteq\mathbb{Z}; não foram fornecidos exemplos nem restrições adicionais.

Passo 2

Definição formal de conjunto limitado superiormente (em \mathbb{Z}).
Um subconjunto A\subseteq\mathbb{Z} é dito limitado superiormente se existe um inteiro M\in\mathbb{Z} tal que, para todo a\in A, vale
a \le M.
Esse M chama-se um limite superior (ou maiorante) de A.
Explicação didática: isso significa que todos os elementos de A estão “à esquerda” ou iguais ao inteiro M na reta dos inteiros; por exemplo, A=\{-2,0,3\} é limitado superiormente porque podemos tomar M=3 (ou qualquer inteiro maior, como M=10).

Passo 3

Observação sobre variações na definição.
É comum em análise permitir que o maiorante M seja um número real. Aqui, porque o enunciado pediu "em \mathbb{Z}", adotamos M\in\mathbb{Z}. Se permitíssemos M\in\mathbb{R}, a definição seria análoga e mais geral; ambas as formas são usadas, dependendo do contexto.

Passo 4

Definição formal de elemento máximo (em \mathbb{Z}).
Dado A\subseteq\mathbb{Z}, um elemento m\in A é chamado elemento máximo de A se, para todo a\in A, vale
a \le m.
Explicação didática: o máximo é um membro do conjunto que é maior ou igual a todos os outros membros. Por exemplo, em A=\{1,4,7\} o máximo é m=7. Note a diferença: um maiorante precisa apenas ser maior ou igual a todos os elementos, mas não precisa pertencer a A; já o máximo deve pertencer a A.

Passo 5

Relação entre as duas definições e propriedades importantes (com prova curta).
  1. Se A tem um elemento máximo m, então A é limitado superiormente (basta tomar M=m). Simples.
  2. Para conjuntos de inteiros, existe uma propriedade prática: toda parte não vazia A\subseteq\mathbb{Z} que é limitada superiormente tem um máximo. Prova curta e construtiva: seja A\neq\varnothing e seja N\in\mathbb{Z} um maiorante de A. Escolha algum a_0\in A. Considere os inteiros N, N-1, N-2,\dots. Como a_0\le N, após no máximo N-a_0 passos chegamos a a_0; ao percorrer essa lista de inteiros de cima para baixo, o primeiro inteiro encontrado que pertença a A existe e é, por construção, o maior elemento de A. Assim o máximo existe. (Essa prova usa que entre dois inteiros há um número finito de inteiros — discreção dos inteiros.)
  3. Unicidade do máximo: se m e m' são máximos de A, então m\le m' e m'\le m, logo m=m'.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia.
  • Exemplo 1: A=\{ -3,-1,0,4\}. Aqui A é limitado superiormente (por exemplo por M=4) e tem máximo 4.
  • Exemplo 2: B=\{n\in\mathbb{Z}: n<5\}. Esse B é limitado superiormente por M=4 e, como está escrito (todos n<5 e inteiros), 4\in B, logo o máximo é 4.
  • Comparação com reais: o intervalo (0,1)\subset\mathbb{R} é limitado superiormente por 1 mas não tem máximo porque 1\notin(0,1). Nos inteiros, a discreção evita esse tipo de problema quando o conjunto é não vazio e limitado acima.

Resposta

Um subconjunto A\subseteq\mathbb{Z} é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{Z} tal que, para todo a\in A, a \le M.
Um elemento m\in A é elemento máximo de A se, para todo a\in A, a \le m.

Exercícios relacionados