Calcule
:
e
é parte do gráfico de
entre
e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral de linha
onde estão dadas as seguintes informações:
e
é a parte do gráfico de
entre
e
.
Informações relevantes listadas:
- A curva
é o gráfico para variando de a . - O campo vetorial tem componente
e componente . - Precisamos calcular
.
Passo 2
Escolhemos um parâmetro natural para a curva: usar
igual à coordenada
. Assim paramos
por
Explicação da fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por
com
em
, a integral de linha do campo
é
Aqui
é o vetor posição ao longo da curva,
é sua derivada em relação a
(a velocidade), e o produto escalar dá a componente de
ao longo da direção do movimento.
Passo 3
Calculamos a derivada da parametrização:
Aqui
tem duas componentes: a derivada de
(que é
) e a derivada de
(que é
).
Passo 4
Substituímos a parametrização na expressão do campo
. Avaliando em
:
Portanto
Comentário: nota que a primeira componente simplificou para a constante
, o que facilita os cálculos.
Passo 5
Formamos o produto escalar
:
Multiplicando termo a termo obtemos
Esse é o integrando em função de
.
Passo 6
Agora escrevemos a integral em
:
Integramos termo a termo usando a regra das potências:
.
-
. -
. -
.
Logo uma primitiva é
Passo 7
Avaliamo-la nos limites
e
.
Para
:
Calculando cada termo:
Somando:
Para
:
Colocando em denominar comum
:
Passo 8
Subtraímos para obter o valor da integral:
Passando ao denominador comum
:
Opcional: em decimal isso vale
.