Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y)=\left(x^{3}-y, x^{2}+7 x\right) e C é parte do gráfico de y=x^{3}+2 entre x=-1 e x=2.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\langle\vec{F}, d\vec{l}\rangle
onde estão dadas as seguintes informações:
\vec{F}(x,y)=\bigl(x^{3}-y,\;x^{2}+7x\bigr),
e C é a parte do gráfico de y=x^{3}+2 entre x=-1 e x=2.
Informações relevantes listadas:
  • A curva C é o gráfico y=x^{3}+2 para x variando de -1 a 2.
  • O campo vetorial tem componente P(x,y)=x^{3}-y e componente Q(x,y)=x^{2}+7x.
  • Precisamos calcular \displaystyle\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{l}.

Passo 2

Escolhemos um parâmetro natural para a curva: usar t igual à coordenada x. Assim paramos C por
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{3}+2\bigr),\qquad t\in[-1,2].
Explicação da fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com t em [a,b], a integral de linha do campo \vec{F} é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \vec{r}(t) é o vetor posição ao longo da curva, \vec{r}\,'(t) é sua derivada em relação a t (a velocidade), e o produto escalar dá a componente de \vec{F} ao longo da direção do movimento.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,\;t^{3}+2\bigr)=\bigl(1,\;3t^{2}\bigr).
Aqui \vec{r}\,'(t) tem duas componentes: a derivada de t (que é 1) e a derivada de t^{3}+2 (que é 3t^{2}).

Passo 4

Substituímos a parametrização na expressão do campo \vec{F}. Avaliando em (x,y)=(t,t^{3}+2):
P\bigl(t,t^{3}+2\bigr)=t^{3}-(t^{3}+2)=-2,
Q\bigl(t,t^{3}+2\bigr)=t^{2}+7t.
Portanto
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(-2,\;t^{2}+7t\bigr).
Comentário: nota que a primeira componente simplificou para a constante -2, o que facilita os cálculos.

Passo 5

Formamos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\bigl(-2,\;t^{2}+7t\bigr)\cdot\bigl(1,\;3t^{2}\bigr) = -2\cdot 1 + (t^{2}+7t)\cdot 3t^{2}.
Multiplicando termo a termo obtemos
-2 + 3t^{4} + 21t^{3}.
Esse é o integrando em função de t.

Passo 6

Agora escrevemos a integral em t:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{-1}^{2}\bigl(-2 + 3t^{4} + 21t^{3}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo usando a regra das potências: \int t^{n}dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1}.
  • \int -2\,dt = -2t.
  • \int 3t^{4}\,dt = 3\cdot\dfrac{t^{5}}{5}=\dfrac{3}{5}t^{5}.
  • \int 21t^{3}\,dt = 21\cdot\dfrac{t^{4}}{4}=\dfrac{21}{4}t^{4}.
Logo uma primitiva é
F(t)=-2t+\dfrac{3}{5}t^{5}+\dfrac{21}{4}t^{4}.

Passo 7

Avaliamo-la nos limites t=2 e t=-1.
Para t=2:
F(2) = -2\cdot 2 + \dfrac{3}{5}\cdot 2^{5} + \dfrac{21}{4}\cdot 2^{4} = -4 + \dfrac{3}{5}\cdot 32 + \dfrac{21}{4}\cdot 16.
Calculando cada termo:
\dfrac{3}{5}\cdot 32 = \dfrac{96}{5},\qquad \dfrac{21}{4}\cdot 16 = 21\cdot 4 = 84.
Somando:
F(2) = -4 + \dfrac{96}{5} + 84 = 80 + \dfrac{96}{5} = \dfrac{496}{5}.
Para t=-1:
F(-1) = -2\cdot(-1) + \dfrac{3}{5}\cdot(-1)^{5} + \dfrac{21}{4}\cdot(-1)^{4} = 2 - \dfrac{3}{5} + \dfrac{21}{4}.
Colocando em denominar comum 20:
2 = \dfrac{40}{20},\quad -\dfrac{3}{5}=-\dfrac{12}{20},\quad \dfrac{21}{4}=\dfrac{105}{20},
F(-1)=\dfrac{40-12+105}{20}=\dfrac{133}{20}.

Passo 8

Subtraímos para obter o valor da integral:
\int_{-1}^{2}\bigl(-2 + 3t^{4} + 21t^{3}\bigr)\,dt = F(2)-F(-1) = \dfrac{496}{5} - \dfrac{133}{20}.
Passando ao denominador comum 20:
\dfrac{496}{5}=\dfrac{1984}{20},
\dfrac{1984}{20}-\dfrac{133}{20}=\dfrac{1851}{20}.
Opcional: em decimal isso vale 92{,}55.

Resposta

\dfrac{1851}{20}

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