Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y)=(x y, 4 x-2 y) e C é o segmento de reta liga os pontos (4,-3) e (7,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle
onde a campo vetorial é \vec{F}(x,y)=(x y,\;4 x-2 y) e C é o segmento de reta que liga os pontos (4,-3) e (7,0).
Informações relevantes dadas:
  • \vec{F}(x,y)=\bigl(xy,\;4x-2y\bigr).
  • O caminho C é o segmento de reta de (4,-3) até (7,0).
  • Precisamos calcular a integral de linha do tipo trabalho: \displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec{l}.

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar), bem mastigada:
Para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por \vec{r}(t), usa-se a fórmula
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização da curva C para t\in[a,b].
  • \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização, e d\vec{l}=\vec{r}\,'(t)\,dt.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo \vec{F} avaliado nos pontos da curva.
  • O produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) gera uma função de t que integramos de a até b.
Isso é uma técnica padrão: parametrizar a curva, substituir no campo, calcular o produto escalar com \vec{r}\,'(t) e integrar.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta (como fazer rápido e seguro):
Um segmento de reta entre (x_0,y_0)=(4,-3) e (x_1,y_1)=(7,0) pode ser parametrizado por
\vec{r}(t)=(1-t)(x_0,y_0)+t(x_1,y_1),\qquad t\in[0,1].
Substituindo os pontos:
\vec{r}(t)=(1-t)(4,-3)+t(7,0).
Calculando coordenada a coordenada:
x(t)=4+3t,\qquad y(t)=-3+3t,\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: para t=0 obtemos (4,-3) e para t=1 obtemos (7,0). Tudo certo.

Passo 4

Calcular \vec{r}\,'(t) (é simples e importante):
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t))=(3,3).
Note que é constante porque o caminho é uma reta com velocidade constante.

Passo 5

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da parametrização, ou seja \vec{F}(\vec{r}(t)):
Primeira componente de \vec{F} é xy. Substituindo x(t) e y(t):
x(t)y(t)=(4+3t)(-3+3t).
Multiplicando termo a termo:
(4+3t)(-3+3t)=4\cdot(-3)+4\cdot 3t +3t\cdot(-3)+3t\cdot 3t
=-12+12t-9t+9t^{2}=-12+3t+9t^{2}.
Segunda componente de \vec{F} é 4x-2y. Substituindo:
4x(t)-2y(t)=4(4+3t)-2(-3+3t).
Calculando:
4(4+3t)-2(-3+3t)=16+12t+6-6t=22+6t.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(-12+3t+9t^{2},\;22+6t\bigr).

Passo 6

Fazer o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t):
Temos \vec{r}\,'(t)=(3,3), então
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=3\bigl(-12+3t+9t^{2}\bigr)+3\bigl(22+6t\bigr).
Calculemos termo a termo:
3(-12+3t+9t^{2})= -36+9t+27t^{2},
3(22+6t)=66+18t.
Somando:
-36+9t+27t^{2}+66+18t = 27t^{2}+27t+30.
Portanto o integrando em t é \displaystyle 27t^{2}+27t+30.

Passo 7

Integrar de t=0 a t=1:
A integral pedida vira
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{0}^{1}\bigl(27t^{2}+27t+30\bigr)\,dt.
Calcule a primitiva termo a termo:
\int 27t^{2}\,dt=27\cdot\frac{t^{3}}{3}=9t^{3},
\int 27t\,dt=27\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{27}{2}t^{2},
\int 30\,dt=30t.
Somando as primitivas,
\Bigl[\,9t^{3}+\frac{27}{2}t^{2}+30t\,\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliação em 1 menos em 0:
9+\frac{27}{2}+30.
Some os termos: 9+30=39, então
39+\frac{27}{2}=\frac{78}{2}+\frac{27}{2}=\frac{105}{2}.

Passo 8

Interpretação final e dica rápida para prova:
O resultado é \displaystyle \frac{105}{2}. Dica prática: para segmentos de reta, sempre parametrizar com t\in[0,1] usando \vec{r}(t)=(1-t)\vec{A}+t\vec{B}; isso deixa \vec{r}\,'(t) constante e a conta costuma ficar direta, como aqui. Mantém a calma e segue os passos: parametrizar → avaliar o campo → produto escalar → integrar.

Resposta

\displaystyle \frac{105}{2}

Exercícios relacionados