Calcule
:
e
é o segmento de reta liga os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial é
e
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Informações relevantes dadas:
-
. - O caminho
é o segmento de reta de até . - Precisamos calcular a integral de linha do tipo trabalho:
.
Passo 2
Explicação do método (fórmula que vamos usar), bem mastigada:
Para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por
, usa-se a fórmula
Aqui:
-
é uma parametrização da curva para . -
é a derivada da parametrização, e . -
é o campo avaliado nos pontos da curva. - O produto escalar
gera uma função de que integramos de até .
Isso é uma técnica padrão: parametrizar a curva, substituir no campo, calcular o produto escalar com
e integrar.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta (como fazer rápido e seguro):
Um segmento de reta entre
e
pode ser parametrizado por
Substituindo os pontos:
Calculando coordenada a coordenada:
Verificação rápida: para
obtemos
e para
obtemos
. Tudo certo.
Passo 4
Calcular
(é simples e importante):
Derivando componente a componente:
Note que é constante porque o caminho é uma reta com velocidade constante.
Passo 5
Avaliar o campo
ao longo da parametrização, ou seja
:
Primeira componente de
é
. Substituindo
e
:
Multiplicando termo a termo:
Segunda componente de
é
. Substituindo:
Calculando:
Logo
Passo 6
Fazer o produto escalar
:
Temos
, então
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto o integrando em
é
.
Passo 7
Integrar de
a
:
A integral pedida vira
Calcule a primitiva termo a termo:
Somando as primitivas,
Avaliação em
menos em
:
Some os termos:
, então
Passo 8
Interpretação final e dica rápida para prova:
O resultado é
. Dica prática: para segmentos de reta, sempre parametrizar com
usando
; isso deixa
constante e a conta costuma ficar direta, como aqui. Mantém a calma e segue os passos: parametrizar → avaliar o campo → produto escalar → integrar.