Calcule:
int \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{sec} ^{2} x d x \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{sec}^{2} x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de \operatorname{tg} x por \operatorname{sec}^{2} x. A incógnita é a antiderivada (primitiva) em relação a x. Precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{tg} x\cdot\operatorname{sec}^{2} x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Identificar um padrão útil: observar que a derivada de \operatorname{tg} x é \operatorname{sec}^{2} x. Vou provar rapidinho isso porque é uma peça-chave. Como \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, usando a regra do quociente temos
\frac{d}{dx}\left(\operatorname{tg} x\right) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec}^{2} x.
Então realmente \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big)=\operatorname{sec}^{2} x.

Passo 3

Método: substituição (u-substitution). Explicação do método em palavras simples: se a integral contém uma função f(x) e também sua derivada f'(x), então é conveniente fazer u=f(x), porque a parte f'(x)\,dx vira du e a integral simplifica para algo em u. Aqui vemos exatamente isso: \operatorname{sec}^{2} x é a derivada de \operatorname{tg} x. Então hago a substituição
u = \operatorname{tg} x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \operatorname{sec}^{2} x \, dx.
Portanto \operatorname{sec}^{2} x\,dx no integrando é exatamente du.

Passo 4

Aplicar a substituição na integral: trocar \operatorname{tg} x por u e \operatorname{sec}^{2} x\,dx por du. Assim
\int \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{sec}^{2} x \, dx = \int u \, du.
Agora a integral é uma integral polinomial simples em u.

Passo 5

Integrar em u usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1 vale \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=1, então
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 6

Voltar à variável original (back-substitution): lembrar que u=\operatorname{tg} x. Substituindo,
\frac{u^{2}}{2}+C = \frac{\operatorname{tg}^{2}x}{2} + C.
Essa é a primitiva procurada.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): calcular a derivada de \dfrac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}x\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{tg} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{sec}^{2} x,
que é exatamente o integrando. Está correto.

Passo 8

Comentário final e dica para a prova: sempre que você vir um fator que é a derivada de outro fator presente no produto (aqui \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \operatorname{tg}x), a substituição u= esse outro fator costuma ser o caminho mais curto. Evita desperdiçar tempo com identidades que tornam a integral mais trabalhosa.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}x + C

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