Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de por
. A incógnita é a antiderivada (primitiva) em relação a
. Precisamos encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de
Passo 2
Identificar um padrão útil: observar que a derivada de
é
. Vou provar rapidinho isso porque é uma peça-chave. Como
, usando a regra do quociente temos
Então realmente
.
Passo 3
Método: substituição (u-substitution). Explicação do método em palavras simples: se a integral contém uma função
e também sua derivada
, então é conveniente fazer
, porque a parte
vira
e a integral simplifica para algo em
. Aqui vemos exatamente isso:
é a derivada de
. Então hago a substituição
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto
no integrando é exatamente
.
Passo 4
Aplicar a substituição na integral: trocar
por
e
por
. Assim
Agora a integral é uma integral polinomial simples em
.
Passo 5
Integrar em
usando a regra da potência para integrais: para
vale
. Aqui
, então
Passo 6
Voltar à variável original (back-substitution): lembrar que
. Substituindo,
Essa é a primitiva procurada.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): calcular a derivada de
:
que é exatamente o integrando. Está correto.
Passo 8
Comentário final e dica para a prova: sempre que você vir um fator que é a derivada de outro fator presente no produto (aqui
é a derivada de
), a substituição
esse outro fator costuma ser o caminho mais curto. Evita desperdiçar tempo com identidades que tornam a integral mais trabalhosa.