Calcule:
int(3+\cos 3 x) d x \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informação fornecida:
\int (3+\cos 3x)\,dx
Pergunta: encontrar uma primitiva (a integral indefinida) de (3+\cos 3x) em relação a x. Não há condições adicionais (como limites), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em termos matemáticos,
\int (3+\cos 3x)\,dx = \int 3\,dx + \int \cos 3x\,dx.
Isto significa que posso tratar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Integro a parte constante \int 3\,dx. Regra: a integral de uma constante a em x é ax, porque a derivada de ax em relação a x é a. Logo,
\int 3\,dx = 3x.
Se quiser, imagine que estamos procurando F(x) tal que F'(x)=3; F(x)=3x funciona.

Passo 4

Agora integro \int \cos 3x\,dx. Esse tipo de integral envolve uma composição \cos(kx). Uma maneira clara é fazer a substituição linear
u = 3x.
Então du = 3\,dx, ou seja dx = \dfrac{du}{3}. Substituindo na integral:
\int \cos 3x\,dx = \int \cos u\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos u\,du.
A integral de \cos u é \sin u, porque \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u. Portanto
\frac{1}{3}\int \cos u\,du = \frac{1}{3}\sin u.
Voltando à variável original x (substituindo u=3x):
\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x).

Passo 5

Somando as duas partes obtidas e incluindo a constante de integração C, a primitiva buscada é
3x + \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando 3x + \dfrac{1}{3}\sin(3x) em relação a x,
\frac{d}{dx}\bigg(3x\bigg)=3,\qquad \frac{d}{dx}\bigg(\frac{1}{3}\sin(3x)\bigg)=\frac{1}{3}\cos(3x)\cdot 3=\cos(3x).
Somando, volta-se ao integrando 3+\cos 3x. Então a primitiva está correta.

Resposta

3x+\dfrac{1}{3}\sin(3x)+C

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