1. Calcule
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi / 4} \frac{2 \cos (2 y) e^{2 x}\left(5-16 e^{2 x}\right)}{1-4 e^{2 x}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi / 4} \frac{2 \cos (2 y) e^{2 x}\left(5-16 e^{2 x}\right)}{1-4 e^{2 x}} \, d y \, d x.
Informações dadas:
\text{domínio: } x\in[0,1],\; y\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right],í
\text{integrando: } \frac{2 \cos (2 y) e^{2 x}\left(5-16 e^{2 x}\right)}{1-4 e^{2 x}}.
O que se pede: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.

Passo 2

Observação útil: o integrando é produto de uma função que depende só de y e outra que depende só de x. Escrevendo explicitamente,
\frac{2 \cos(2y) e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}} = \bigl(2\cos(2y)\bigr)\cdot\frac{e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}}.
Quando uma integral dupla sobre um retângulo tem integrando separável assim, podemos separar a integral em produto de integrais:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/4} \bigl(2\cos(2y)\bigr)\cdot\frac{e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}} \, dy \, dx = \left(\int_{0}^{\pi/4} 2\cos(2y)\, dy\right) \left(\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}}\, dx\right).

Passo 3

Calculo da integral em y:
\int_{0}^{\pi/4} 2\cos(2y)\, dy.
Fazemos a substituição u=2y. Então du=2\,dy, isto é, 2\,dy=du. Os limites: quando y=0 temos u=0; quando y=\pi/4 temos u=\pi/2. Assim
\int_{0}^{\pi/4} 2\cos(2y)\, dy = \int_{0}^{\pi/2} \cos(u)\, du.
A integral de \cos(u) é \sin(u), então
\int_{0}^{\pi/2} \cos(u)\, du = \sin\bigl(u\bigr)\Big|_{0}^{\pi/2} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0)=1-0=1.
Portanto a integral em y vale 1. Isso simplifica muito: a integral dupla fica igual à integral em x restante.

Passo 4

Ficamos com
\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}}\, dx.
Para integrar essa expressão em x é conveniente a substituição exponencial
t = e^{2x}.
Calculamos dt. Diferenciando, dt = 2 e^{2x}\, dx, logo
e^{2x}\, dx = \frac{dt}{2}.
Alteramos também os limites: quando x=0 temos t=e^{0}=1; quando x=1 temos t=e^{2}. Substituindo na integral,
\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}(5-16 e^{2x})}{1-4 e^{2x}}\, dx = \int_{t=1}^{t=e^{2}} \frac{5-16t}{1-4t}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{e^{2}}\frac{5-16t}{1-4t}\, dt.

Passo 5

Agora trataremos a integral racional
\int_{1}^{e^{2}}\frac{5-16t}{1-4t}\, dt.
É prática fazer uma divisão algébrica para escrever essa fração como soma de termo polinomial e termo racional simples. Procuramos constantes C e D tais que
\frac{5-16t}{1-4t} = C + \frac{D}{1-4t}.
Multiplicando ambos os lados por 1-4t,
5-16t = C(1-4t) + D = C - 4Ct + D.
Comparando coeficientes de t e termos constantes:
  • Coeficiente de t: -16 = -4C \Rightarrow C=4.
  • Constante: 5 = C + D \Rightarrow D = 5 - C = 1.
    Portanto
\frac{5-16t}{1-4t} = 4 + \frac{1}{1-4t}.

Passo 6

Substituindo essa decomposição na integral temos
\frac{1}{2}\int_{1}^{e^{2}}\left(4 + \frac{1}{1-4t}\right)\, dt = \frac{1}{2}\left(\int_{1}^{e^{2}} 4\, dt + \int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{1-4t}\, dt\right).
Integramos termo a termo.
Primeiro termo:
\int_{1}^{e^{2}} 4\, dt = 4t\Big|_{1}^{e^{2}} = 4e^{2} - 4.
Segundo termo: para integrar \int \frac{1}{1-4t}\, dt fazemos u = 1-4t, então du = -4\, dt, ou dt = -\frac{du}{4}. Assim
\int \frac{1}{1-4t}\, dt = -\frac{1}{4}\ln|1-4t| + \text{const}.
Logo
\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{1-4t}\, dt = -\frac{1}{4}\ln\bigl|1-4t\bigr|\Big|_{1}^{e^{2}} = -\frac{1}{4}\left(\ln\bigl|1-4e^{2}\bigr| - \ln\bigl|1-4\cdot 1\bigr|\right).

Passo 7

Juntando os resultados e lembrando do fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\left(4e^{2}-4 -\frac{1}{4}\bigl(\ln|1-4e^{2}| - \ln|1-4|\bigr)\right).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} e simplificando 4e^{2}-4 = 4(e^{2}-1) obtemos
2(e^{2}-1) - \frac{1}{8}\bigl(\ln|1-4e^{2}| - \ln|1-4|\bigr).
Agora avaliamos os valores absolutos dos argumentos dos logaritmos. Note que 1-4e^{2}<0 (porque 4e^{2}>1), então |1-4e^{2}| = 4e^{2}-1. Também 1-4 = -3 e |1-4|=3. Assim
\ln|1-4e^{2}| - \ln|1-4| = \ln(4e^{2}-1) - \ln 3 = \ln\!\left(\frac{4e^{2}-1}{3}\right).
Portanto a integral em x vale
2(e^{2}-1) - \frac{1}{8}\ln\!\left(\frac{4e^{2}-1}{3}\right).

Passo 8

Lembrando que a integral em y valia 1, a integral dupla original é exatamente o valor que acabamos de calcular para a integral em x. Finalizamos com o resultado exato:
2\bigl(e^{2}-1\bigr) - \frac{1}{8}\ln\!\left(\frac{4e^{2}-1}{3}\right).

Resposta

2\bigl(e^{2}-1\bigr)-\frac{1}{8}\ln\!\left(\frac{4e^{2}-1}{3}\right)

Exercícios relacionados