\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1 / 2}^{2} 2 x y \sin \left(x y^{2}\right) d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1/2}^{2} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dx\, dy.
Informações dadas:
O domínio de integração é o retângulo em variáveis x e y com x\in[1/2,2] e y\in[0,\sqrt{\pi}].
A função integranda é 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right).
A tarefa é calcular exatamente o valor numérico desta integral dupla.
Passo 2
Motivação para o método: a região de integração é um retângulo (produto de intervalos), e a função integranda é contínua nesse retângulo, então podemos trocar a ordem de integração usando o Teorema de Fubini sem problemas. Trocar a ordem facilita porque a expressão parece ligada à derivada em relação a y. Vou, portanto, trocar a ordem das integrais para integrar primeiro em y:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1/2}^{2} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dx\, dy = \int_{1/2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dy\, dx.
Passo 3
Mini-aula rápida (cadeia e reconhecimento): observe a função g(y)=\cos\!\big(x y^{2}\big) com x visto como parâmetro. Pela regra da cadeia,
2 x y \sin\!\big(x y^{2}\big) = -\frac{d}{dy}\cos\!\big(x y^{2}\big).
Isso é útil porque integrar uma derivada em y é direto (teorema fundamental do cálculo).
Passo 4
Aplicando essa observação ao integral interno em y:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2 x y \sin\!\big(x y^{2}\big)\, dy = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\frac{d}{dy}\cos\!\big(x y^{2}\big)\, dy = -\Big[\cos\!\big(x y^{2}\big)\Big]_{y=0}^{y=\sqrt{\pi}}.