1. Calcule
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1 / 2}^{2} 2 x y \sin \left(x y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1/2}^{2} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o retângulo em variáveis x e y com x\in[1/2,2] e y\in[0,\sqrt{\pi}].
  • A função integranda é 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right).
  • A tarefa é calcular exatamente o valor numérico desta integral dupla.

Passo 2

Motivação para o método: a região de integração é um retângulo (produto de intervalos), e a função integranda é contínua nesse retângulo, então podemos trocar a ordem de integração usando o Teorema de Fubini sem problemas. Trocar a ordem facilita porque a expressão parece ligada à derivada em relação a y. Vou, portanto, trocar a ordem das integrais para integrar primeiro em y:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{1/2}^{2} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dx\, dy = \int_{1/2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2 x y \sin\!\left(x y^{2}\right)\, dy\, dx.

Passo 3

Mini-aula rápida (cadeia e reconhecimento): observe a função g(y)=\cos\!\big(x y^{2}\big) com x visto como parâmetro. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\cos\!\big(x y^{2}\big) = -\sin\!\big(x y^{2}\big)\cdot \frac{d}{dy}\big(x y^{2}\big) = -\sin\!\big(x y^{2}\big)\cdot (2 x y).
Rearranjando obtemos
2 x y \sin\!\big(x y^{2}\big) = -\frac{d}{dy}\cos\!\big(x y^{2}\big).
Isso é útil porque integrar uma derivada em y é direto (teorema fundamental do cálculo).

Passo 4

Aplicando essa observação ao integral interno em y:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2 x y \sin\!\big(x y^{2}\big)\, dy = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\frac{d}{dy}\cos\!\big(x y^{2}\big)\, dy = -\Big[\cos\!\big(x y^{2}\big)\Big]_{y=0}^{y=\sqrt{\pi}}.
Agora avalio os limites:
-\Big(\cos\!\big(x(\sqrt{\pi})^{2}\big) - \cos\!\big(x\cdot 0^{2}\big)\Big) = -\big(\cos\!\big(x\pi\big) - \cos 0\big) = -\cos\!\big(\pi x\big) + 1.
Portanto o integral interno vale 1-\cos\!\big(\pi x\big).

Passo 5

Substituo o resultado do passo anterior na integral externa em x:
\int_{1/2}^{2} \big(1-\cos\!\big(\pi x\big)\big)\, dx = \int_{1/2}^{2} 1\, dx \;-\; \int_{1/2}^{2} \cos\!\big(\pi x\big)\, dx.
Calculo as duas partes separadamente.

Passo 6

Primeira parte:
\int_{1/2}^{2} 1\, dx = \big[x\big]_{1/2}^{2} = 2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Segunda parte: usar antiderivada de \cos(\pi x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\pi}\sin\!\big(\pi x\big)\right)=\cos\!\big(\pi x\big),
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\int_{1/2}^{2} \cos\!\big(\pi x\big)\, dx = \frac{1}{\pi}\sin\!\big(\pi x\big)\Big|_{1/2}^{2} = \frac{1}{\pi}\big(\sin(2\pi)-\sin(\tfrac{\pi}{2})\big).
Como \sin(2\pi)=0 e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1, obtemos
\int_{1/2}^{2} \cos\!\big(\pi x\big)\, dx = \frac{1}{\pi}(0-1) = -\frac{1}{\pi}.

Passo 7

Junto as partes:
\int_{1/2}^{2} \big(1-\cos\!\big(\pi x\big)\big)\, dx = \tfrac{3}{2} - \left(-\tfrac{1}{\pi}\right) = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{\pi}.

Resposta

\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{\pi}

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