Calcule:
\int_{0}^{2} \sin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.\n
Informações que temos (explicitadas):\n
  • O integrando é \sin\bigl(x^{2}\bigr).\n
  • O intervalo de integração é [0,2].\n
  • Não há figura nem dado adicional; só essa integral.\n
  • O pedido é um valor numérico da integral (ou expressão equivalente).\n

Passo 2

Observação importante sobre primitiva: a função \sin\bigl(x^{2}\bigr) não possui uma primitiva expressável em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, radicais etc.).\n
Por isso temos duas abordagens úteis que vou usar juntas (uma para obter uma forma “exata” em termos de uma função especial e outra para obter um valor numérico que você pode usar na prova):\n
  1. escrever a integral em termos da função de Fresnel S (forma exata, conhecida);\n
  2. obter uma aproximação numérica controlada usando a série de Taylor de \sin e integração termo a termo, aplicando um critério de erro (alternating series / resto estimado).\n

Passo 3

Definição (Fresnel S): vou usar a definição padrão\n S(t)=\int_{0}^{t}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}u^{2}\bigr)\,du.\n
Agora faço a mudança de variável que relaciona \int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx com S.\n
Defina \displaystyle u=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,x. Então\n x=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,u,\qquad dx=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,du,\n
e quando x vai de 0 a 2, u vai de 0 a 2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}.\n
Substituindo na integral:\n
\int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2\sqrt{2/\pi}} \sin\!\bigl((\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,u)^{2}\bigr)\,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,du = \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sqrt{2/\pi}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}u^{2}\bigr)\,du.\n
Pelo defini\c{c}~ao de S, isso dá a forma exata\n \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\;S\!\Bigl(2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\Bigr).}

Passo 4

Agora eu mostro como obter uma boa aproximação numérica via série (método direto, útil na prova quando não se lembra da função de Fresnel).\n
Lembrete de série: a série de Taylor do seno em torno de 0 é\n \sin t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!},\n
válida para todo t. Substituindo t=x^{2} obtemos\n \sin\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.\n
Como a série converge uniformemente em [0,2], posso integrar termo a termo:\n \int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\int_{0}^{2}x^{4n+2}\,dx.\n
Calculando a integral de potência:\n \int_{0}^{2}x^{4n+2}\,dx=\left[\frac{x^{4n+3}}{4n+3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{4n+3}}{4n+3}.\n
Logo a série para a integral é\n \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}.}

Passo 5

Vou calcular os primeiros termos dessa série para obter uma aproximação e usar o fato de que é uma série alternada com termos de sinal trocado e módulo decrescente para controlar o erro (critério de Leibniz).\n
Escrevendo explicitamente os primeiros termos (cada termo em decimal para facilitar):\n
  • n=0: \displaystyle \frac{2^{3}}{3\cdot 1!}=\frac{8}{3}=2,6666666667.\n
  • n=1: \displaystyle -\frac{2^{7}}{7\cdot 3!}=-\frac{128}{42}=-3,0476190476.\n
  • n=2: \displaystyle \frac{2^{11}}{11\cdot 5!}=\frac{2048}{1320}=1,5515151515.\n
  • n=3: \displaystyle -\frac{2^{15}}{15\cdot 7!}=-\frac{32768}{75600}=-0,4336005291.\n
  • n=4: \displaystyle \frac{2^{19}}{19\cdot 9!}=\frac{524288}{6894720}=0,0760450552.\n
  • n=5: \displaystyle -\frac{2^{23}}{23\cdot 11!}=-\frac{8388608}{918086400}\approx -0,0091403485.\n
  • n=6: \displaystyle \frac{2^{27}}{27\cdot 13!}=\frac{134217728}{168129561600}\approx 0,0007985240.\n

Passo 6

Agora faço a soma parcial com os termos acima e uso o resto alternado para estimar o erro.\n
Somando até n=6 (ou seja, incluindo o termo com n=6):\n
S_{6}\approx 2,6666666667-3,0476190476+1,5515151515-0,4336005291+0,0760450552-0,0091403485+0,0007985240.\n
Calculando essa soma (vou mostrar passo a passo):\n
  • após n=0,1: 2,6666666667-3,0476190476=-0,3809523809.\n
  • + n=2: -0,3809523809+1,5515151515=1,1705627706.\n
  • + n=3: 1,1705627706-0,4336005291=0,7369622415.\n
  • + n=4: 0,7369622415+0,0760450552=0,8130072967.\n
  • + n=5: 0,8130072967-0,0091403485=0,8038669482.\n
  • + n=6: 0,8038669482+0,0007985240=0,8046654722.\n\n
Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar depois do termo n=6 é no máximo o módulo do próximo termo ( n=7). Estimamos o módulo do termo n=7 como\n \left|\frac{2^{31}}{31\cdot 15!}\right|\approx 0,000053.\n
Portanto o valor verdadeiro difere de S_{6} em no máximo cerca de 5{,}3\times10^{-5}. Isso garante que a aproximação está correta pelo menos com quatro casas decimais e com boa precisão nas cinco primeiras.\n

Passo 7

Interpretação final e incentivo: temos uma forma exata em termos da função de Fresnel e uma aproximação numérica controlada pela série.\n
A expressão exata em função de S (Fresnel) é prática quando você pode citar funções especiais; a série é boa se precisar calcular à mão alguns dígitos ou estimar erro na prova.\n
Você conseguiu — a integral não tem primitiva elementar, mas podemos dar uma resposta exata em termos de Fresnel e uma aproximação numérica precisa.\n

Resposta

\displaystyle \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\;S\!\Bigl(2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\Bigr)\n
\displaystyle 0,8046654722\\ (\text{aprox.; erro }\le 5{,}3\times10^{-5})

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