Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
e
são os limites de integração.
O integrando é a soma de duas funções: e
.
A tarefa é encontrar o valor da integral definida (um número — ou uma expressão equivalente).
O integrando é a soma de duas funções:
A tarefa é encontrar o valor da integral definida (um número — ou uma expressão equivalente).
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Então escrevemos
Isto simplifica o trabalho: podemos tratar cada parcela separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral
Método: substituição (u-substitution). Explico a ideia: se dentro da função temos
, é natural definir uma nova variável
, porque a derivada de
é
e aparece um
multiplicando
. Faça:
Troca os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Assim
Assim
A primitiva de
é
. Aplicando os limites:
Passo 4
Agora a segunda integral:
Observação importante (explicada com calma): a função
não possui primitiva expressável em termos de funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos etc.). Portanto não podemos escrever uma fórmula “fechada” simples para uma antiderivada. Porém, para integrais definidas podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo definindo a função
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
e a integral desejada é
Portanto a integral está bem definida, só que a escrevemos como o valor dessa função
em
.
Passo 5
Para ligar essa integral a uma função conhecida estudada em análise, apresento a função de Fresnel (modo prático, sem jargões pesados):
defina a integral de Fresnel por
defina a integral de Fresnel
Podemos escrever
em termos de
por uma mudança de variável. Faça
. Então
e
. Os limites:
,
. Substituindo:
Conclusão: embora não haja primitiva elementar, a integral pode ser escrita usando a função de Fresnel
.
Passo 6
Juntando as duas parcelas (Passo 3 e Passo 5), obtemos a expressão final exata:
Se você preferir um valor numérico para comparar no gabarito ou usar na prova (desde que permitido), uma boa aproximação é