Calcule.
\int \sin ^{5} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \displaystyle \int \sin^{5}x\;\cos x\,dx. O conteúdo abordado é integração por substituição, pois vemos \sin x elevado a uma potência e seu derivado \cos x aparece multiplicando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \sin x,
de onde
du = \cos x\,dx.

Passo 3

Ao substituir na integral original, obtemos
\int \sin^{5}x\;\cos x\,dx \;=\;\int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potência em u:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u = \sin x, temos
\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{\sin^{6}x}{6} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{6}x}{6} + C

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