Calcule \int x \cdot \ln x d x+\int x \cdot(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas integrais \displaystyle \int x\,\ln x\,dx
e \displaystyle \int x\,(\ln x)^{2}\,dx,
e depois somá-las.
O método central será a integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Vamos primeiro a \displaystyle \int x\,\ln x\,dx.
Escolhemos
u = \ln x,\quad dv = x\,dx
para que
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \frac{x^{2}}{2}.
Aplicando integração por partes:
\int x\,\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln x \;-\;\int \frac{x^{2}}{2}\,\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln x \;-\;\int \frac{x}{2}\,dx.
E
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Logo,
\int x\,\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln x \;-\;\frac{x^{2}}{4}.

Passo 3

Agora calculemos \displaystyle \int x\,(\ln x)^{2}\,dx.
Escolhemos
u = (\ln x)^{2},\quad dv = x\,dx
de modo que
du = 2\,\frac{\ln x}{x}\,dx,\quad v = \frac{x^{2}}{2}.
Integração por partes dá
\int x\,(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2} \;-\; \int \frac{x^{2}}{2}\,\cdot 2\,\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2} \;-\; \int x\,\ln x\,dx.
Já temos \displaystyle \int x\,\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.
Portanto,
\int x\,(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2} \;-\;\biggl(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\biggr) = \frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2} - \frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Somando os dois resultados:
\int x\,\ln x\,dx +\int x\,(\ln x)^{2}\,dx = \Bigl(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\Bigr) + \Bigl(\frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4}\Bigr).
Observe que \frac{x^{2}}{2}\ln x cancela com -\frac{x^{2}}{2}\ln x e -\frac{x^{2}}{4} cancela com \frac{x^{2}}{4}. Resta apenas
\frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2}.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}\,(\ln x)^{2} + C.

Exercícios relacionados