Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int \frac{4^{\ln (1 / x)}}{x} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular
\int \frac{4^{\ln(1/x)}}{x}\,dx.
O conteúdo principal envolve transformar a exponencial em potência de x e usar a regra de integração de potências.

Passo 2

Usamos a identidade \exp(a\ln b)=b^a. Em particular,
4^{\ln(1/x)} = e^{\ln(1/x)\,\ln4} = (1/x)^{\ln4} = x^{-\ln4}.

Passo 3

Substituindo no integrando,
\frac{4^{\ln(1/x)}}{x} = \frac{x^{-\ln4}}{x} = x^{-\ln4-1}.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência
\int x^{m}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
com m = -\ln4 - 1. Então
\int x^{-\ln4-1}\,dx = \frac{x^{(-\ln4-1)+1}}{(-\ln4-1)+1} + C = \frac{x^{-\ln4}}{-\ln4} + C.

Passo 5

Voltando à forma original, como x^{-\ln4}=4^{\ln(1/x)}, a primitiva fica
-\frac{1}{\ln4}\;4^{\ln(1/x)} + C.

Resposta

-\frac{4^{\ln(1/x)}}{\ln4} + C

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