Calcule:
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}+\cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}+\cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
\;0 e \;1 são os limites de integração.
O integrando é a soma de duas funções: \;x e^{x^{2}} e \;\cos\left(x^{2}\right).
A tarefa é encontrar o valor da integral definida (um número — ou uma expressão equivalente).

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Então escrevemos
\int_{0}^{1}\bigl(x e^{x^{2}}+\cos(x^{2})\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx + \int_{0}^{1} \cos(x^{2})\,dx.
Isto simplifica o trabalho: podemos tratar cada parcela separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx.
Método: substituição (u-substitution). Explico a ideia: se dentro da função temos x^{2}, é natural definir uma nova variável \;u=x^{2}, porque a derivada de x^{2} é 2x e aparece um x multiplicando e^{x^{2}}. Faça:
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Troca os limites: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.
Assim
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
A primitiva de e^{u} é e^{u}. Aplicando os limites:
\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac{e-1}{2}.

Passo 4

Agora a segunda integral:
\int_{0}^{1} \cos(x^{2})\,dx.
Observação importante (explicada com calma): a função \cos(x^{2}) não possui primitiva expressável em termos de funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos etc.). Portanto não podemos escrever uma fórmula “fechada” simples para uma antiderivada. Porém, para integrais definidas podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo definindo a função
F(x)=\int_{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \;F'(x)=\cos(x^{2}) e a integral desejada é
\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx = F(1)-F(0) = F(1) = \int_{0}^{1}\cos(t^{2})\,dt.
Portanto a integral está bem definida, só que a escrevemos como o valor dessa função F em 1.

Passo 5

Para ligar essa integral a uma função conhecida estudada em análise, apresento a função de Fresnel (modo prático, sem jargões pesados):
defina a integral de Fresnel C por
C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi t^{2}}{2}\right)\,dt.
Podemos escrever \int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx em termos de C por uma mudança de variável. Faça s=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,t. Então t=s\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} e dt=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,ds. Os limites: t=0\Rightarrow s=0, t=1\Rightarrow s=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}. Substituindo:
\int_{0}^{1}\cos(t^{2})\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{2/\pi}}\cos\!\left(\frac{\pi s^{2}}{2}\right)\,ds = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\;C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right).
Conclusão: embora não haja primitiva elementar, a integral pode ser escrita usando a função de Fresnel C.

Passo 6

Juntando as duas parcelas (Passo 3 e Passo 5), obtemos a expressão final exata:
\int_{0}^{1}\bigl(x e^{x^{2}}+\cos(x^{2})\bigr)\,dx = \frac{e-1}{2} + \int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx = \frac{e-1}{2} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\;C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right).
Se você preferir um valor numérico para comparar no gabarito ou usar na prova (desde que permitido), uma boa aproximação é
\frac{e-1}{2}+\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx \approx 1{,}76366515213.

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}+\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx=\frac{e-1}{2}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)
\displaystyle \approx 1{,}76366515213

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