Calcule.
\int x \cos x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cos x^{2}\,dx.
Esse tipo de integral é resolvido com substituição, invertendo a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x \cos x^{2}\,dx = \int \cos u \;\frac12\,du = \tfrac12 \int \cos u\,du.

Passo 4

Sabendo que uma primitiva de \cos u é \sin u, obtemos
\tfrac12 \int \cos u\,du = \tfrac12 \sin u + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = x^{2}, a antiderivada final é
\tfrac12 \sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \tfrac12 \sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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