Calcule.
\int_{0}^{2} 2^{x} d x
\int_{0}^{2} 2^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Precisamos calcular o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Vamos lembrar (e provar rapidamente) a fórmula para integrar uma exponencial de base
com
e
. Começamos escrevendo a exponencial em termos da exponencial natural:
Aqui
é o logaritmo natural de
(logaritmo na base
). Essa reescrita é importante porque sabemos integrar funções da forma
.
Passo 3
Agora fazemos a integral indefinida de
. Usamos a substituição simples
. Então
, ou seja
. Assim,
Voltando a
, obtemos a antiderivada
Aqui
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
, uma antiderivada de
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
Passo 5
Calculamos os valores:
Se quiser uma aproximação numérica, lembrando que
, temos