Calcule.
\int_{0}^{2} 2^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{2} 2^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 2^{x}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 2 (superior).
  • Precisamos calcular o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Vamos lembrar (e provar rapidamente) a fórmula para integrar uma exponencial de base a com a>0 e a\neq1. Começamos escrevendo a exponencial em termos da exponencial natural:
a^{x} = e^{x\ln a}.
Aqui \ln a é o logaritmo natural de a (logaritmo na base e). Essa reescrita é importante porque sabemos integrar funções da forma e^{kx}.

Passo 3

Agora fazemos a integral indefinida de a^{x}. Usamos a substituição simples u = x\ln a. Então du = \ln a\,dx, ou seja dx = \dfrac{du}{\ln a}. Assim,
\int a^{x}\,dx = \int e^{x\ln a}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{du}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}\,e^{u}+C.
Voltando a x, obtemos a antiderivada
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=2, uma antiderivada de 2^{x} é
F(x)=\frac{2^{x}}{\ln 2}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{0}^{2} 2^{x}\,dx = \biggl[\,\frac{2^{x}}{\ln 2}\,\biggr]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2}.

Passo 5

Calculamos os valores:
\frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{4-1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}.
Se quiser uma aproximação numérica, lembrando que \ln 2 \approx 0,6931, temos
\frac{3}{\ln 2} \approx \frac{3}{0,6931} \approx 4,328.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\ln 2}

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