Calcule.
\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função integranda é \dfrac{2x}{1+x^{2}}.
  • Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia (explicação da técnica que vamos aplicar, sem resolver ainda): uma técnica muito usada em integrais que têm uma função racional com um polinômio no denominador é a substituição do tipo u= \text{denominador} quando o numerador é proporcional à derivada do denominador. Não vou assumir que você saiba isso: passo a passo, escolhemos u=1+x^{2} porque a derivada de 1+x^{2} em relação a x é 2x, que aparece no numerador. Agora aplicamos essa substituição.

Passo 3

Fazendo a substituição u=1+x^{2}. Calculamos o diferencial du:
u=1+x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isto significa que o termo 2x\,dx na integral pode ser substituído por du. Também trocamos os limites de integração usando u(0) e u(1):
\text{quando } x=0,\; u=1+0^{2}=1,
\text{quando } x=1,\; u=1+1^{2}=2.

Passo 4

Substituímos tudo na integral: 2x\,dx = du e 1+x^{2}=u. Assim a integral definida em x vira uma integral definida em u:
\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos \int_{1}^{2} \dfrac{1}{u}\,du. Lembrete (mini-aula): a primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, porque a derivada de \ln|u| é \dfrac{1}{u}. Como u>0 no nosso intervalo, podemos usar \ln u sem valor absoluto. Então
\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \left.\ln u\right|_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1.

Passo 6

Como \ln 1 = 0, concluímos
\ln 2 - \ln 1 = \ln 2.
Só para checar mentalmente: a integral indefinida seria \int \dfrac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \ln(1+x^{2}) + C. Derivando \ln(1+x^{2}) obtemos \dfrac{2x}{1+x^{2}}, então a nossa antiderivada está correta. Avaliando de 0 a 1 \ln(1+1^{2})-\ln(1+0^{2})=\ln 2.

Resposta

\ln 2

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