Calcule.
\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x
\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia (explicação da técnica que vamos aplicar, sem resolver ainda): uma técnica muito usada em integrais que têm uma função racional com um polinômio no denominador é a substituição do tipo
quando o numerador é proporcional à derivada do denominador. Não vou assumir que você saiba isso: passo a passo, escolhemos
porque a derivada de
em relação a
é
, que aparece no numerador. Agora aplicamos essa substituição.
Passo 3
Fazendo a substituição
. Calculamos o diferencial
:
Isto significa que o termo
na integral pode ser substituído por
. Também trocamos os limites de integração usando
e
:
Passo 4
Substituímos tudo na integral:
e
. Assim a integral definida em
vira uma integral definida em
:
Passo 5
Agora integramos
. Lembrete (mini-aula): a primitiva (antiderivada) de
é
, porque a derivada de
é
. Como
no nosso intervalo, podemos usar
sem valor absoluto. Então
Passo 6
Como
, concluímos
Só para checar mentalmente: a integral indefinida seria
. Derivando
obtemos
, então a nossa antiderivada está correta. Avaliando de
a
dá
.